[L1]Contradiction dans la recherche d'un extrema ?

[JBB]

Bonjour, en cherchant les extrema d'une fonction (le plus rigolo c'est que c'est pour une travail d'informatique) j'ai trouvé une contradiction qui témoigne sans doute soit de mon manque de rigueur soi de ma bêtise :marteau:

f est définie de R^2 sur R par
f(x,y)=x^2 -x+2y , différntiable donc continue partout.
Le théorème de Weierstrass assure l'existence d'extrema absolus (minimum et maximum) sur le carré fermé de côté 2 centré sur l'origine, soit l'ensemble E défini par:

E={ (x,y) de R^2 tels que |x|<(=) 1 et |y|<(=)1} où | | désigne la valeur absolue et <(=) veut dire plus petit ou égal.

(Les hypothèse de compacité et de continuité sont en effet vérifiées)

Cependant la différentielle de f est sur n'importe quel point:
(2x-1 2) et ne s'annule donc jamais. f ne possède pas de point critique, et par conséquent, pas d'extrema, en particulier pas d'extrema sur E contrairement à ce que le Théorème de Weierstrass assume.

Où est l'erreur de Weierstrass ? :stupid_in

[JBB]

:mur:

Désolé je viens de comprendre.
Les extremums de la restriction de f sur un compact ne sont pas forcément des points critiques de f: ils peuvent être sur la frontière du compact et être des extremums "artificiels" produits par la restriction (je ne sais pas si je me suis expliqué).

Tout point critique d'un ouvert (donc d'un non compact) est un extrema.
Pour rechercher les extrema de la frontière on peut essayer (je vais essayer) de donner une paramétrisation de la frontière et rechercher les extremas sous cette contrainte..

Vous pouvez supprimer mon post, désolé....

:mur:

[serge75]

Un point critique (ie qui annule le gradient) peut ne pas être un extremum : c'est le cas d'un col. C'est la réciproque qui est partiellement vraie :
Sur un OUVERT, tout extremum est un point critique.
Sinon, effectivement, l'absence de point critique établit que le maximum et le minimum (qui existent par compacité) sont situés sur le bord.
Le plus simple est alors de paramétrer successivement chacun des quatre côtés de ton carré et d'étudier alors ta fonction sur chacun de ces quatre côtés. Tu es alors ramené à un problème d'une seule variable.

[JBB]

Merci beaucoup.
Le prof a donné hier la correction et il a dit qu'en fait c'est un procédé algorithmique et c'est un peu ce que tu dis, serge. Je le poste au cas où quelqu'un puisse s'en servir.

Conditions que doit remplir l'énoncé:

On veut déterminer les extremums d'un cham scalaire f continu sur un compact K, dont la frontière est l'union finie d'éléments réguliers (Je n'ai personnellement trouvé aucun compact dont la frontière ne remplisse pas une telle condition).

1 Recherche de points critiques intérieurs a K

2 Recherche d'extremums de la restriction de f sur chacun des éléments réguliers de la frontière (donc par exemple, les sommets d'un carré sont exclus de cette étape).

3 Évaluer f sur:

Les points critiques de l'intérieur du compact.
Les extremums des diverses restrictions de f
Les éléments non réguliers de la frontière

Le Théorème de Weierstrass garantit que la valeur maximale (minimale) parmi les précédentes correspond au maximum (minimum) de f sur K.