CNS diagonalisabilité d'un Automorphisme de L(E)

[mathieu.1]

Bonsoir,

Voilà une semaine et demie que je bloque sur une question d'un exercice de maths dont voici l'énoncé :

E, K-espace vectoriel de dimension n.
Soit u un automorphisme de E.
On pose l'application linéaire de L(E) suivante :

phi : L(E) -> L(E)
f -> u^(-1)°f°u

1) Montrer que phi est un automorphisme de L(E).
2) Montrer que si u est dagonalisable, alors phi l'est aussi.
3) Monter que la réciproque est fausse pour K=R.
4) Montrer qu'elle est vraie pour K=C.

Les 3 premières questions ne me posent aucun problème.
Par contre, la quatrième est plus dure.

Des idées ?

[Maxmau]

Bonsoir,

Voilà une semaine et demie que je bloque sur une question d'un exercice de maths dont voici l'énoncé :

E, K-espace vectoriel de dimension n.
Soit u un automorphisme de E.
On pose l'application linéaire de L(E) suivante :

phi : L(E) -> L(E)
f -> u^(-1)°f°u

1) Montrer que phi est un automorphisme de L(E).
2) Montrer que si u est dagonalisable, alors phi l'est aussi.
3) Monter que la réciproque est fausse pour K=R.
4) Montrer qu'elle est vraie pour K=C.

Les 3 premières questions ne me posent aucun problème.
Par contre, la quatrième est plus dure.

Des idées ?

qq idées pour la 4/
- le corps des scalaires étant C, u admet un VP soit x
- Phi étant diagonalisable, L(E) admet une base (fi) formée de VP de Phi
- fi o u colinéaire à u o fi . Les fi(x) sont aussi des VP de u
- les fi(x) forment une famille de rang n dans E ?