Exo sur les vecteurs - [TS]

[grego]

Bonjour,

J'ai quelques soucis pour résoudre cet exo, donc si quelqu'un pouvait m'expliquer car je n'ai pas compris grand chose.

On considére un repére orthonormé (0, OM2, OM4. OM5) de l'espace ainsi que le cube OM2M3M4M5M6M7M8.
On définit M9 à M14 comme étant les centres respectifs des faces M2M3M7M6, M3M4M8M7, OM4M8M5, OM2M6M5, OM2M3M4, M5M6M7M8.
Enfin on définit M15à M21 comme étant les milieux respéctifs des aretes [M6M7], [M7M8], [M3M4], [M2M3], [M4M8], [M3M7], [M2M6].

Pour simplifier les notations on pose A= M18; B=M4, C=M16, D=M3, E=M6.
Pour chaque question, on ne se contentera pas des calculs, mais on exposera la méthode choisie.

1-Vérifier que le plan P=(ABC) et la droite (DE) ont une unique point commun F qu'on déterminera.
Vérifier qu'il est donné par la formule: vecteur OF= vecteur OD + ((vecteur DA * vecteur n)/(vecteur DE * vecteur n))* vecteur DE ( n étant un vecteur normal à (ABC)).

2-Déterminer le symétrique orthogonal D' de D par rapport à P. Préciser le projeté G de D sur P ainsi que la distance de D à P.
vérifier que D' est donné par la formule vecteur OD'= vecteur OD + 2*((vecteur DA* vecteur n)/vecteur n²)* vecteur n ( vecteur n étant un vecteur normal à (ABC)).

3- Déterminer la droite commune (delta) aux deux plans P et Q=(CDE). ON en précisera un vecteur directeur d.

4- Déterminer le projeté orthogonal D'' de D sur (delta). Vérifier que D'' est donné par la formule: vecteur OD''= vecteur OC + ((vecteur CD * vecteur d)/vecteur d²)*d)
Déterminer le projeté orthogonal G'' de G sur (delta). Proposer une démonstration géométrique de la particularitée de D'' et G''.

5- Déterminer l'angle entre les deux plans P et Q.


Merci de votre aide

[Daragon geoffrey]

slt
pour la première réponse, conaissant les coordonnées des points qui figurent sur le dessin, (je te rappelle que celles du milieu d'un segment esont données par la demi somme des coordonnées respectives des extrémités du segment), alors pour montrer que (DE) et (ABC) n'ont qu'un point commun, tu montres que cos(DE;n) (angle orienté de vecteurs) est différent de 1 ou 0 équiv à DE et n (1 vecteur normal à ABC) ne sont ni colinéaires ni orthogonaux équiv à la droite (DE) et (ABC) sécants en un seul point : j'te donne le résultat : sachant qu'une équation de (ABC) est x+2y-(1/2)z-2=0, alors n(1;2;-1/2) et DE(0;-1;1), alors n.DE(vecteur)=-2-1/2=-5/2=n*DE*cos(n;DE) avec n et DE les distances, soit n=rac(21)/2 et DE=rac2 alors on a cos(n;DE)=-5/rac(42) équiv à (n;DE)=... et donc on voit bien que l'angle de vecteur est différent de 0 [pi] et de pi/2 [pi] et donc que les vecteurs en question ne sont ni colinéaires ni orthogonaux (en fait ils ne sont pas coplanaires) ce qui montre que (DE) et (ABC) n'ont qu'un point commun !

[grego]

bonjour,

merci Daragon pour tes explication j'ai fait ceci :

1-Vérifier que le plan P=(ABC) et la droite (DE) ont une unique point commun F qu'on déterminera.
Calcule l'équation de P.
A(1,1/2,0) , B(0,1,0) et C(1/2,1,1) donnent 3 équations
a+b/2+d=0
b+d=0
a/2+b+c+d=0
on en tire
2x+4y-z-4=0
équation paramétrique de DE
D(1,1,0) et E(1,0,1)
on prend un point M(x,y,z) sur DE et on dit DM=tDE
on en tire
x=1
y=1-t
z=t
on reporte dans l'équation du plan
cela donne t=2/5
alors les coordonnées de F sont (1,3/5,2/5)

Vérifier qu'il est donné par la formule: vecteur OF= vecteur OD + ((vecteur DA * vecteur n)/(vecteur DE * vecteur n))* vecteur DE ( n étant un vecteur normal à (ABC)).
on a donc n(2,4,-1)
DA(0,-1/2,0) et DE(0,-1,1)
DA.n=-2 et DE.n=-4-1=5 (le 2/5 apparaît)
OD(1,1,0) et 2/5*DE(0,-2/5,2/5)
dont la somme donne bien (1,3/5,2/5) cad vecteur OF= vecOD + vecDF = vecOD + (vecDA * vec n) / (vecDB * vec n)* vec DE

2-Déterminer le symétrique orthogonal D' de D par rapport à P. Préciser le projeté G de D sur P ainsi que la distance de D à P.
vérifier que D' est donné par la formule vecteur OD'= vecteur OD + 2*((vecteur DA* vecteur n)/vecteur n²)* vecteur n ( vecteur n étant un vecteur normal à (ABC)).

=> Le vecteur DG est colinéaire au vecteur n, donc vec DG = t vec n
xG - 1 = 2t
yG - 1= 4t
zG - 0=-t donc

xG=2t+1
yG=4t+1
zG=-t

G appartient au plan P donc 2(2t+1) + 4(4t+1) + t - 4 =0 donc t=(-2/21)
Les coordonnées de G sont (17/21, 13/21, (-2/21)

Et pour calculer les coordonées de D', j'ai essayé de faire :
vec DD'=2 vecDG
mais j'obtiens quelquechose d'incohérent donc c'est pas la bonne méthode, peux tu m'expliquer

et comment faire pour calculer la distance de D au plan P ???

[Daragon geoffrey]

pour déterminer les coordonnées de F, on pose un syst à 3 inconnus que l'on résout : on a donc F(x;y;z) qui vérifie d'une part l'équation de (ABC), de plus F apartient à (DE) alors vecteur cos(n;DF)=-5/rac(42) ou encore n.DF(scalaire)=x+2y-z/2 = rac(21/2) cos(n.DF), enfin F appartient à la face M2M3M7M6 dont une équation cartésienne est ... j'te laisse la trouver c assez rapide, et donc F vérifie aussi cette équation tu as ainsi un système de 3 équations à 3 inconnues que tu sais résoudre ! @ +

[Daragon geoffrey]

slt en fait D' symétrique de D par rapport à G (qui apartient o plan et dont tu as les coordonnées) revient à dire que DG=GD' (distances), sachant que
DG=|axd+bxd+czd+d|/[rac(a^2 + b^2 + c^2)] ou xd,... sont les coordonnées de D, a,b et c celles de n vecteur normal à (ABC), et ax+by+cz+d l'équation du plan en question ! c une formule du cour !
de plus, vecteurs DG et n colinéaires donc DG.n (scalaire)=... mais on a aussi
GD'.n=DG.n (GD'=DG (vecteurs)), connaissant DG.n à partir des coordonnées des points impliqués et de n, et enfin G est le milieu de [DD'] donc tu peux aussi poser GD+GD'=vecteur nul et par passage aux coordonnées cela te donne une troisième équation tu résouts donc le syst de 3 équations à 3 inconnues !
rq : tu peux aussi ne résoudre qu'un syst de 2 équations à 3 inconnues en considérant l'une des 3 inconnues comme un paramètre en fct duquel tu exprimes les autres inconnues ! @ +

[Daragon geoffrey]

sinon ce que tu as fait est trè bien pk di tu que tu ne t'en sortais pas ??? @ +