DM équations différentielles

[Apocaniche]

salut ! alors voila j'ai un dm en deux parties (deux exo), dont voici la partie 1 :

Le taux d'alcoolémie f(t) (exprimé en g.L^-1) d'une personne ayant absorbé à jeun une certaine quantité d'alcool vérifié sur [0;+infini[ l'équation différentielle :
(E) y' + y = ae^-t.

où t est le temps (exprimé en heures) écoulé âprès l'ingestion et a une constante qui dépend des conditions expérimentales.

1)a) On pose pour tout t [0;+infini[ , g(t) = f(t)e^t.
Démontrer que la fonction g' est constante égale à a.

-> j'ai dérivé g'(t) et trouvé et(ae^-t) = a donc g'(t)=a.

b) On admet que pour tout t [0;+infini[ , g(t)=at+b.
Que vaut b?

-> Comme g(t)=at+b, b = g(0) = f(0) dont c'est l'ordonnée à l'origine (donc avec t=0).
C'est la quantité d'alcool absorbé?

2) Exprimer f(t) en fonction de t et de a.

-> Comme g(t)=at+b at+b=f(t)e^t f(t) = (at+b)/e^t
C'est bon?

3) On prend maintenant a=6
a) Etudier le sens de variation de f et tracer sa courbe représentative à l'écran de la calculatrice.

b) Déterminer le taux d'alcoolémie maximal et le temps au bout duquel il est atteint.

c) Lire sur l'écran de la calculatrice une valeur approchée du délai T au bout duquel le taux d'alcoolémie de cette personne est inférieure à 0.5 g.L^-1.

edit : merci de votre aide quand même :d

[el niala]

1b) ce serait plutôt le taux d'alcoolémie à t=0

[Apocaniche]

Jme suis peut-etre mal exprimé, oui c'est ca, donc la quantité initiale d'alcool absorbée?
Ca me gene pour la derivation ou pas? :(
Et pour exprimer en fonction de f(t) et a?

[el niala]

je ne comprends pas tes doutes, le seul que je vois c'est que ton énoncé ne précise pas f(0) justement, et de cette valeur dépend le fait que f' s'annule ou pas pour t>0

[Apocaniche]

j'ai trouvé! b=0. :D

[el niala]

dans ce cas c'est du speed-drinking, mais effectivement si l'énoncé ne précise rien d'autre...