DM Equation par dichotomie

[Bluwws]

Bonjour,

J'ai un DM dont le titre est "Résolution d'une équation par dichotomie".
je n'arrive pas du tout à commencer, je vous cite l'énoncé:

La fonction f est définie sur [0; + \infini [ par f(x) = (x^3 + x^2 - 2x - 3)/(x + 1)

1. Déterminer deux réels a et b tels que, pour tout x de [0; + infini [, on ait: f(x) = x^2 + a + b/(x + 1)
2. Soient u et v les fonctions définies sur [0; + infini [ par u(x) = x^2 et v(x) = -2 - 1/(x + 1)
a. Déterminer le sens de variation de u et v sur [0; + infini [
b. En déduire le sens de variation de la fonction f sur [0; + infini [ . Dresser le tableau de variations de f.
c. Calculer f(1) et f(2). En déduire que, sur [0; + infini [, l'équation f(x) = 0 admet une unique solution alpha et que cette solution appartient à l'intervalle [1;2].

[annick]

Bonjour,
pour la première question, tu redéveloppes ton expression f(x) = x² + a + b/(x + 1) en remettant tout au même dénominateur et tu compares le numérateur que tu trouves à celui de ta fonction de départ, ce qui te permettras de trouver a et b.

[Bluwws]

C'est ce que j'ai fait, je trouve (x^3 + x + ax + a + b)/(x + 1)

Maintenant comment faire pour trouver a et b, pour b, il faut que jje fasse f(0) sur l'équation initiale donc sur (x^3 + x^2 - 2x - 3)/(x + 1) et je trouve f(0) égale -3 donc le -3 est bon, maintenant je n'arrive pas à trouver a. Suis-je sur la bonne piste?

Merci de ton aide rapide.

[annick]

il me semble qu'il y a une erreur : tu as écrit (x^3 + x + ax + a + b) .
Ensuite, il faut que tu égalises tes deux dénominateurs et tu les compares ce qui te permet de trouver a et b

[Bluwws]

Oui effectivement, oui là ça se rapproche beaucoup plus de la bonne fonction.
J'en suis à (x^3+x²+ax+a-3)/(x+1)
Je ne comprends pas comment trouver a, j'ai trouver b grâce à f(0)=-3
Quand tu dis "comparer", c'est à dire: il faut que je remplace directement a par -2 sans aucune justification?

[Black Jack]

C'est du plus haut comique d'inciter les élèves de passer par Berlin pour aller de Paris à Versailles.

(x^3 + x^2 - 2x - 3)/(x + 1)
= (x²(x+1) - 2x - 2 - 1 )/(x+1)
= (x²(x+1) - 2(x+1) - 1)/(x+1)
= ...

:zen:

[Bluwws]

D'accord, oui j'arrive bien à la fin à avoir x^2 -2 -1/(x+1)
Ce qui fait que a=-2 et b=-1 est_ce bon?

Pour le 2.a je dois utiliser les dérivés?

[Bluwws]

Je n'arrive pas au 2, je ne sais pas si je dois dire si la fonction est croissante/décroissante ou si je dois chercher son taux de variation (donc dérivé).

[annick]

Je continue l'explication de ma méthode, même si elle passe par Berlin, car je crois que la méthode de Black Jack demande une sorte d'intuition que l'on n'a pas forcément à ce niveau (Bluwws est d'accord car les calculs étaient pratiquement finis, mais aurait-il pu trouver tout seul cette méthode qui n'est pas forcément reproductible ? De toutes façons, ça lui donne le choix, à lui de voir où il se sent le plus à l'aise).
Donc on a :

x^3 + x² + ax + a + b = x^3 + x² - 2x - 3

Soit par identification des coefficients affectés aux mêmes puissances de x :

a=-2 et a+b=-3 d'où b=-1, ce qui est bien le même résultat pour les deux méthodes.

Pour la suite, étude des variations de fonctions classiques en passant par les dérivées.

[Bluwws]

Pour la suite, étude des variations de fonctions classiques en passant par les dérivées.

C'est bien là ou j'ai un problème, mon cour sur les dérivés ne comporte que taux d'accroissement et la tangente d'une fonction dérivable (ce qui me paraît pas très utilise ici). Est_ce que avec mon cour je peux déterminer le sens de variation c'est à dire avec (f(a+h)-f(a))/h ?

Merci pour vos aides

[annick]

Tu n'as pas encore vu les formules de dérivations ?

[Bluwws]

Les deux formules que j'ai vu sont: y=f'(a)(x-a)+f(a) et (f(a+h)-f(a))/h

Voilà :/, est_ce que je peux répondre à cette question avec ces deux formules?

[annick]

Bon, pour la fonction u(x), c'est assez évident : si x augmente, que fait x² ? Donc la fonction est...
De même pour v(x), comment croit x+1, donc comment croit 1/(x+1), donc comment croit -1/(x+1), donc comment croit v(x) ?

[Black Jack]

Je continue l'explication de ma méthode, même si elle passe par Berlin, car je crois que la méthode de Black Jack demande une sorte d'intuition que l'on n'a pas forcément à ce niveau (Bluwws est d'accord car les calculs étaient pratiquement finis, mais aurait-il pu trouver tout seul cette méthode qui n'est pas forcément reproductible ? De toutes façons, ça lui donne le choix, à lui de voir où il se sent le plus à l'aise).
Donc on a :

x^3 + x² + ax + a + b = x^3 + x² - 2x - 3

Soit par identification des coefficients affectés aux mêmes puissances de x :

a=-2 et a+b=-3 d'où b=-1, ce qui est bien le même résultat pour les deux méthodes.

Pour la suite, étude des variations de fonctions classiques en passant par les dérivées.

En es-tu bien sûr, à partir du moment où on donne quasi la réponse en indiquant "f(x) = x^2 + a + b/(x + 1)" ou bien autre chose dans un autre exercice, on y arrive à tous les coups... et sans réelles difficultés.

Et si on ne donne aucune indication ... On y arrive aussi ... ou du moins on y arrivait jadis quand on ne guidait pas les étudiants au pas à pas vers la solution comme aujourd'hui, on préférait leur apprendre à réfléchir...

:zen: