Exercice sur les Matrices carrées et ses Idéaux.

[Julien9]

Bonjour à tous, voici un exerice sur les matrices ainsi que ses sous anneaux.
J'ai quelques difficultés alors je demande de l'aide.

Enoncé:

1. Soit A=(aij)0<=i,j<=n appartenant à Mn(R)
Calculer Eij*A*Ekl
Eij=
(0..0..0)
(.........)
(0..1..0)
(.........)
(0..0..0)


colonne j, ligne i.
Ekl=
(0..0..0)
(.........)
(0..1..0)
(.........)
(0..0..0)
colonne l, ligne k.

2. Quels sont les idéaux bilatères de Mn(R)?

3. Soit F un sous espace vectoriel de R^n et soit (F)={M € Mn(R) / F C KerM}
Vérifier que (F) est un idéal à gauche de Mn(R).






J'ai fait la première question j'obtiens:

Eij*A*Ekl=
(0...0...0)
(...........)
(0..Ajk..0)
(...........)
(0...0...0)
colonne l, ligne i.

Par contre pour la deuxième et la troisième je suis bloqué. J'ai les définitions d'idéaux et d'idéaux bilatères, mais je ne sais pas quoi en faire.

Merci à tous ceux qui prendront le temps de m'aider.

[Maxmau]

Bj
Quels sont les idéaux bilatères de Mn(R) ?
quelques pistes:
Soit I un idéal bilatère de Mn(R) non réduit à zéro.
essaie de montrer que I est un sev de Mn(R) (c'est déjà un sous-groupe additif)
qui contient les matrices Eij (la question 1 doit être utile)

[Julien9]

Merci de ta réponse et de ton aide, mais j'ai toujours du mal..

I est un SEV de Mn(R):
IcMn(R)
I=/=l'ensemble vide
Va,b appartenant à I, Vl,k appartenant à R, la+kb appartient à I

mmm je sais pas trop comment le montrer :/ et effectivement la question 1 doit servir..

[Maxmau]

j'essaie de préciser. Attention: ds ce qui suit idéal signifie idéal bilatère
Soit I un idéal de Mn(R). Par définition c'est un sous groupe additif de Mn(R).
Je désigne par In la matrice identité.
Soit A une matrice de cet idéal et a un réel. aA = (aIn)A est encore dans l'idéal (définition d'un idéal)
ce qui précède permet de dire que L'idéal I est un sev de Mn(R).

supposons maintenant I non réduit à zéro. Il contient donc une matrice A non nulle. un coeff de cette matrice A soit Ajk est non nul et on peut le supposer égal 1 (sinon on multiplie A par 1/Ajk)
D'après la question1/ EijAEkl = Eil donc Eil est dans l'idéal I.....
I est donc un sev contenant toutes les matrices Eil

[Julien9]

Merci beaucoup de ton aide.

"ce qui précède permet de dire que L'idéal I est un sev de Mn(R)."
Pour être un sev il manque d'autres conditions non? Et cela sert il vraiment de dire que c'est un sev?

Dans la deuxième partie de ta réponse tu supposes une matrice A non nulle avec "un coeff de cette matrice A soit Ajk". C'est à dire le même genre de matrice que dans la question 1?
"Soit A=(aij)0<=i,j<=n appartenant à Mn(R)"?
c'est à dire:
A=
(a11 .. a1n)
(..............)
(an1 .. ann)
?

En tout cas c'est cool de me faire avancer, dans ce genre d'exercice quand t'as pas l'inspiration c'est difficile.

[Maxmau]

"ce qui précède permet de dire que L'idéal I est un sev de Mn(R)."
OUI. soit A et B dans I et a,b des scalaires: On a vu que aA et bB sont encore ds I et comme I est un sous groupe additif de Mn(R) aA+bB est ds I. Donc toute combinaison linéaire d"éléments de I est encore ds I. I est donc un sev de Mn(R)

Dans la deuxième partie de ta réponse tu supposes une matrice A non nulle avec "un coeff de cette matrice A soit Ajk". C'est à dire le même genre de matrice que dans la question 1?
"Soit A=(aij)0<=i,j<=n appartenant à Mn(R)"?
OUI- j'ai noté Ajk au lieu de ajk

en résumé
I étant un idéal (bilatère) de Mn(R) non réduit à zéro, on a donc montré que
1/ I est un sev de mn(R)
2/ I contient les matrices Eij (Eij est la matrice dont tous les coeff sont nuls sauf celui à l'intersection de la ligne i et la colonne j qui est égal à 1)

Que peux tu en déduire pour I ?
(rem: on peut même raisonner de 2 façons trés différentes)

[Julien9]

D'accord! Je comprend bien le raisonnement merci.

I est donc un sev de Mn(R) contenant toutes les matrices Eij.
Cela ne suffit il pas pour répondre à la question 2?

Et pour la question 3 je ne sais pas trop mais je pense qu'il suffit de démontrer les propriétés d'un idéal a gauche?

Merci!

[Maxmau]

I est donc un sev de Mn(R) contenant toutes les matrices Eij.
Cela ne suffit il pas pour répondre à la question 2?

Les Eij constituent une base de Mn(R) et I (idéal bilatère non réduit à zéro) est un sev de Mn(R) qui contient les Eij. Que peux tu en conclure pour I ?
Conclusion: quels sont les seuls idéaux de Mn(R) ?

la 3/ est une simple vérification