Matrices Algèbre Linéaire

[Julien9]

Le sujet:
voici la matrice d'endomorphisme:
(3 -1 1)
(0 2 0 )
(1 -1 3)

Ecrire cette matrice dans la nouvelle base
__________________________________________

Pouvez vous me dire si ce que j'ai fait est correct?
J'ai appelé la matrice A
e1(1,0,0)
e2(0,1,0)
e3(0,0,1)
J'ai d'abord calculé les images des vecteurs de la nouvelle base:
(3 -1 1)
(0 2 0 )*(1,0,-1)=(2,0,-2)=2*e1'
(1 -1 3)

(3 -1 1)
(0 2 0 )*(0,1,1)=(0,2,2)=2*e2'
(1 -1 3)

(3 -1 1)
(0 2 0 )*(1,0,1)=(4,0,4)=4*e3'
(1 -1 3)

Du coup j'ai B=
(2 0 0)
(0 2 0)
(0 0 4)

Ensuite j'ai:
e1'=e1-e3
e2'=e2+e3
e3'=e1+e3

Du coup j'ai la matrice de passage P=
(1 0 1)
(0 1 0)
(-1 1 1)

J'ai calculé P^-1 à l'aide du pivot de Gauss ce qui me donne P^-1=
(1/2 1/2 -1/2)
(0 1 0)
(1/2 -1/2 1/2)

J'ai relation B=P^-1AP




Voilà ce que j'ai. Cependant, même si je pense avoir toutes les réponses nécessaires, comment répondre a la question? Est ce juste?

Merci à tous.

[GagaMaths]

je pense que tu fais les choses un peu dans le désordre;

il faut commencer par écrire la matrice de passage, formée par les vecteurs colonnes de la nouvelle base ;

ensuite, inverser P (après avoir vérifié que P est inversible)

ensuite utilsier la relation pour calculer la nouvelle matrice ;

(un moyen de vérification : si la nouvelle matrice a la même trace que celle de départ, il y a des chances pour que tu ne te sois pas trompé, car la trace reste invariante par changement de base)

[Julien9]

Merci de ta réponse.

Voici la matrice de passage P=
(1 0 1)
(0 1 0)
(-1 1 1)

J'ai P^-1=
(1/2 1/2 -1/2)
(0 1 0)
(1/2 -1/2 1/2)

Du coup j'ai B=P^-1*A*P
(1/2 1/2 -1/2) (3 -1 1) (1 0 1)
(0 1 0) * (0 2 0 ) * (0 1 0) =
(1/2 -1/2 1/2) (1 -1 3) (-1 1 1)

(2 0 0)
(0 2 0)
(0 0 4)


Est ce juste? Est la réponse a la question?

Merci

[GagaMaths]

c'est correct, j'ai juste vérifié P-1 après je pense que le calcul est facile... mais tu obtiens une matrice diagonale (souvent le but des changements de base) avec une trace égale, donc à priori tt est bon !

c'est la réponse à ta question... !

[Julien9]

Cool! Merci beaucoup!

Par contre peut tu juste m'indiquer ce qu'est "une trace"? Jamais entendu. :)

[Vlad-Drac]

la somme des éléments sur la diagonale

[Julien9]

D'accord!

Petite question, pour trouver B, j'ai utilisé B = P^-1AP

Cependant dans mon premier message j'avais aussi trouvé B en faisant A*les vecteurs de la nouvelle base.

Est ce pareil? Ou cela marche t'il par un coup de chance? Quelle est la meilleure méthode?

[GagaMaths]

oui ton calcul était tout à fait bon, mais là ça marchait car tu reconnaissais directement des combinaisons linéaires des vecteurs de ta nouvelle base ; alors que dans un cadre plus général, si tu calcules l'image d'un vecteur de la nouvelle base, on n'arrive pas forcément à déterminer facilement sa relation avec les vecteurs (je parle de ce calcul :
(3 -1 1)
(0 2 0 )*(1,0,-1)=(2,0,-2)=2*e1'
(1 -1 3)
)
là tu vois, tu as pu déterminer 2*e'1 directement...!

[Julien9]

Ah oui effectivement là c'était facile, mais en général ça peut être bien plus compliqué.

D'accord merci beaucoup!