Theorie de la mesure/analyse

[Ouimet21]

Bonjour,

Soit l'espace L^2(R,L_R,\lambda) que nous noterons L^2(R) des fonctions de carre integrable par rapport a la mesure de Lebesgue

R denote l'ensemble des reels et L_R la tribu de Lebesgue (soit la completion de la tribu de Borel)

Soit la relation d'equivalence pour f,g dans L^2(R):
f equivalent a g si et seulement si f=g lambda-presque-partout

alors on note L^2_\lambda(R) l'espace des classes d'equivalences dont le representant est dans L^2(R)
on note [f] une telle classe

ma question est:

L'ensemble {[f] \in L^2_\lambda(R) tel que ||[f]||_2=1} est t-il compact?

(on utilise la norme usuelle sur cet espace)

Plus simplement dit, la sphere unite dans l'espace des classes d'equivalences de fonctions dans L^2(R) est-elle compacte?

Si oui, le demontrer, sinon, dire pourquoi...

Merci de repondre rapidement...
si vous ne voulez pas donner l'idee de la preuve, un oui ou non me suffira

[arnaud32]

si c'est un compact, tu vas etre en dimension finie ...

[marwaneabdelbari]

salut,
Il y a un théorème qui dit ; X est un espace de Banach de dimension finie ssi la boule unité est compacte.
c'est le théorème Reitz. donc cette ensemble ne peut pas etre compacte.

[Ouimet21]

Ok merci, alors j'ai une question qui est plus directement celle que je me posais au départ.
Avec les mêmes définitions,

Soit P une forme lineaire continue non identiquement nulle
est ce quil existe [g] dans L^2_\lambda(R) tel que

P([g])=sup{|P([f])| tel que ||[f]||_2=1}

Autrement dit, soit la sphere unite dont il est question plus haut, si je prend le supremum sur les quantites |P([f])| pour [f] dans la sphere, est ce que la valeur du supremum est atteinte

je tout essayer ce qui me venait a lesprit...

Par la definition du supremum, il existe une suite {P([g_k])} qui converge vers le supremum que nous notons ||P||.

On a alors une suite de Cauchy dans R, ensuite, par lineairite et continuite de P, on aurait que la suite
{[g_k]} serait de Cauchy dans L^2_\lambda(R) si P serait injective, mais ce n'est pas necessairement le cas, on pourrait alors conclure que la suite converge vers un [g] car l'espace L^2_\lambda(R) est complet par le theoreme de Riesz-Fisher...
Tout ca donne rien car le noyau de P nest pas necessairement trivial...

Ensuite, je suis venu ici, car je me suis rendu compte que si la sphere unite etait compacte, alors on pourrait aussi conclure
Et la vous me dites quelle ne lest pas car on sait que la dimension de L^2_\lambda(R) est infinie non denombrable

Donc je suis bloque...

Je cherche ainsi une condition suffisante a l'existence d'un [g] dont P([g]) atteinderait le supremum ||P||.

Merci de me donner des idees...

[ffpower]

Connais tu le théo de représentation de Riez, permettant de classifier les formes linéaires sur L^2?

[Ouimet21]

Connais tu le théo de représentation de Riez, permettant de classifier les formes linéaires sur L^2?

je connais l'enonce, justement, j'ai un devoir dans un cours de mesure, et le devoir consiste a montrer le theoreme de Riesz dans le cas particulier de l'espace L^2_\lambda(R) qui est un espace de Hilbert

Cest pour ca que mes questions sont fortement reliees a ce theoreme...

[ffpower]

Ah, ok...Je suppose que t'as pas le droit de t'en servir alors^^

Donc ta question sur la forme linéaire qui atteint son sup, c'est une question intermédiaire? Une approche personnelle du problème?

Car il existe peut être mais là comme ça je vois pas de moyen simple de prouver ton assertion sans passer par la théorie des Hilberts

[Ouimet21]

Ah, ok...Je suppose que t'as pas le droit de t'en servir alors^^

Donc ta question sur la forme linéaire qui atteint son sup, c'est une question intermédiaire? Une approche personnelle du problème?

Car il existe peut être mais là comme ça je vois pas de moyen simple de prouver ton assertion sans passer par la théorie des Hilberts

cette etape est dans le devoir, donc je dois passer par la

mais tu as raison, je suis entrain de lire sur les espaces de hilbert pour raccorder les bouts

[Ouimet21]

En fait dans mon 2e post, je parle de l'approche du probleme en voulant montrer que la suite {[g_k]) est de Cauchy dans L^2_\lambda(R)

Je suis sur que c'est la bonne approche, mais je n'arrive pas a conclure

Quelqu'un pourrait m'aider pour ce chemin?

Soit P une forme lineaire continue (non identiquement nulle) sur L^2_\lambda(R)
Considerons une suite d'elements [g_k] dans L^2_\lambda(R) tels que

||[g_k]||=1 et lim_k->\infty P([g_k])=||P|| le supremum defini au 2e post

On doit montrer qu'il existe une limite [g] dans L^2_\lambda(R)

Mon approche du probleme:

La suite {P([g_k])} est une suite congervente dans R
En particulier, c'est donc une suite de Cauchy
On a
lim_k->\infty P([g_k+p])-P([g_k])=0 pour tout p>=0 (naturel)
ie
lim_k->\infty P([g_k+p] - [g_k])=0 par linearite de P

Bon la, ya un trou...
J'aimerais avoir ici (par la ligne du haut) que

lim_k->\infty ||[g_k+p]-[g_k]||=0 en utilisant la continuite de P

Une fois qu'on aurait ceci, on aurait ce qu'on veut car L^2_\lambda(R) est complet.

Svp aidez-moi

[ffpower]

Sinon, en copiant un peu ce qu'on fait dans les Hilbert:
En utilisant la chaine d'inégalité
|P(g_n)+P(g_m)|<||P||.||g_n+g_m||<2||P||
on déduit que ||g_n+g_m|| tend vers 2 quand n,m tend vers l'infini
En développant le carré, on en déduit que (g_n scalaire g_m) tend vers 1
et on en déduit finalement que ||g_n-g_m|| tend vers 0..

[Ouimet21]

Sinon, en copiant un peu ce qu'on fait dans les Hilbert:
En utilisant la chaine d'inégalité
|P(g_n)+P(g_m)|<||P||.||g_n+g_m||<2||P||
on déduit que ||g_n+g_m|| tend vers 2 quand n,m tend vers l'infini
En développant le carré, on en déduit que (g_n scalaire g_m) tend vers 1
et on en déduit finalement que ||g_n-g_m|| tend vers 0..

omg

merci

lol, je comprend trop pas geometriquement ce qui se passe, mais ca marche!!!