Aide pour un BTS [Résolu]

[Julo59]

Bonsoir à tous, je suis particulièrement embêté sur un DM que j'ai à rendre, ça fait 3 bonnes heures que je cherche, mais mes solutions me semblent incorrectes voir totalement idiotes ... Je sollicite ainsi votre aide, dégoûté, moi qui n'ai pas l'habitude de demander ce genre de choses sur des forums :/

Voila l'énoncé :

on considère la fonction C, définie sur l'intervalle ]-1 ; +infini[

C(x) = a-(bx+1)ln(x+1)

a et b sont deux nombres réels
La courbe représentative de cette fonction s'appele : Co
Co passe par le point A de coordonnées (0 ; e)
Co passe par le point B de coordonnées (e-1 ; 0)

Partie A

1) Déterminer a puis b
2) En déduire C(x)

Là j'ai séché complétement, je connais les résultats mais pas moyen de trouver la preuve de ce que j'avance ... Je sais que a doit faire e et que b doit faire 1, mais je ne sais pas comment le prouver :/

Partie B

f(x) = e-(x+1)ln(x+1) définie sur ]-1 ; +infini[

1)
a) Démontrer que la limite de f en -1 est égale à e (on admettra que lim XlnX = 0 quand x->0)

b) Calculer la limite de f en +infini

J'ai réussi à trouver la limite en + infini, mais je galère un peu à expiquer pour la limite quand x tend vers -1 ... Cela me paraît bizarre l'information dans la question, sachant que ln n'est définissable qu'entre 0 et +infini généralement, alors -1, je suis étonné et un peu désabusé.

2)
a) Démontrer, en la résolvant que l'équation f'(x)=0 admet une solution unique, notée alpha, dans l'intervalle ]-1 ; +infini[

b) Etudier le sens de variations de f sur l'intervalle ]-1 ; +infini[

c) Calculer la valeur exacte de f(alpha) et sa valeur arrondie à 10^-2 prés

3) Dresser le tableau de variations de f

4)
a) Calculer le coefficient directeur des tangentes T1 et T2 à la courbe Cf aux point d'abscisses respectives : 0 et e-1

La b n'étant que tracer.

Là j'ai trouvé une dérivée, mais elle me semble un peu étrange voir fausse :
f'(x) = e-ln(x+1)-1
Mais j'ai vérifié, elle n'est pas croissante ou décroissante strictement, on ne peut donc pas faire le Théorème des valeurs intermédiaires ?? Comment dois-je m'y prendre ?
Dans mes anciens calculs, je trouvais 40,19<alpha<40,20, mais ça me semblait idiot, alors j'ai recommencé.

J'aimerai grandement de l'aide, merci d'avance !

[GagaMaths]

Bonsoir

Pour la partie A déjà :
utilise le fait que la courbe passe par le point A (0,e) : cela signifie que C(0)= e
Utilise aussi l'autre point, et remplace C(0) et C(e-1) par leurs expressions pr pouvoir déterminer a et b.

Tu peux ainsi en déduire C(x).

Partie B :
1) a) attention ici on ne te demande pas limite de lnx quand x tend vers -1, mais ln (x+1) ; donc à l'intérieur du ln ça va tendre vers 0 (le ln est bien défini à droite de 0 !).
dans ce cas, l'indication est avec des "X", et dans ton exemple, remarque que X = x+1.

2) on te demande de résouder explicitement l'équation f'(x) =0.
f'(x) = - (ln(x+1) + (x+1)/(x+1) ) = -1 - ln(x+1)

[Julo59]

Je trouve donc une solution comme ceci pour f'(x) = 0 => Alpha = (e^-1) - 1
Est-ce que ça correspond ou je suis simplement fatigué ?

Autre question, f est bien du signe de f'(x) ?? Je ne me trompe pas ?

En tout cas merci de ton aide, je désespèrais, mais grâce à tes explications, c'est bien plus clair ! Et j'ai trouvé les justifications de mes résultats !

[Julo59]

J'ai cherché et je tombe sur f(alpha) = e + (e^-1) soit environ 3,08 (10^-2 près)

Petite question, je dois bien faire :

les equations de tangente de T1 pour 0 et de T2 pour e-1 ?

Du genre :

T1:y = f'(0)(x-0)+f(0) ?
et
T2:y = f'(e-1)(x-(e-1))+f(e-1) ?

[GagaMaths]

ok pour f'(x) = 0.

méfie-toi, f n'est pas du signe de f' ; si f' est positive alors f est croissante, et si f' est négative, alors f est décroissante.

tes équations de tangente sont correctes.
tu n'as plus qu'à calculer avec les f' et f !

[Julo59]

Je ne comprend pas trop la différence entre "étudier le sens de variation de la fonction" et "faire le tableau de variations", selon moi ça revient au même, mais j'ai l'air de me tromper :/

Bref, j'ai calculé et vérifié mes tangentes, elles sont exactement comme attendu !

Merci beaucoup GagaMaths ;)

[GagaMaths]

oui en effet c'est la même chose ;) c’est juste que là , dans ton énoncé il y a deux questions distinctes, donc pour "sens de variation" il faut plutot dire si elle est croissante ou decroissante.
par contre, dans la tableau ça doit vraiment être complet, c'est a dire bien sur le sens de variation mais aussi les limites, quelques calculs aux points particuliers, etc