Densité des radicaux

[benekire2]

Bonjour,

Dans un exercice de mon TD on me demande ceci :

Soit

1. Montrer que pour tout epsilon : n'est pas vide.
2. En déduire que A est dense dans R.

Pour la 1 c'est facile avec une suite extraite de A , la suite
Pour la deuxième question c'est le en déduire qui me gêne, en effet , j'y arrive très bien sans utiliser la deuxième question en reprenant la définition de la densité d'une partie. Alors comment faire pour faire cette deuxième question en utilisant le résultat de la question 1 ?

Merci !

[vincentroumezy]

Salut ! La 1) te permet de dire qu'entre deux réels quelconques positifes il y a un élément de A, et c'est la définition de la densité, non ?

[benekire2]

Et bien non je ne pense pas :

la suite des 1/n vérifie 1 mais on se convaic facilement qu'elle n'est pas dense dans quoi que ce soit.

Il doit cependant y avoir un lien simple entre les deux questions ..

[vincentroumezy]

Exact, j'ai encore dit n'importe quoi :mur: .

[Maxmau]

Salut ! La 1) te permet de dire qu'entre deux réels quelconques positifes il y a un élément de A, et c'est la définition de la densité, non ?

oui
à condition de remarquer que la multiplication d'un élément de A par un entier est encore ds A

[benekire2]

oui
à condition de remarquer que la multiplication d'un élément de A par un entier est encore ds A

En effet, c'est très intelligent comme argument !! Ca m'évite de traiter la 2 comme si j'avais jamais vu la 1 ... merci.

[Maxmau]

En effet, c'est très intelligent comme argument !! Ca m'évite de traiter la 2 comme si j'avais jamais vu la 1 ... merci.

NON ! il faut utiliser la 1/

soit x et y 2 réels distincts ( on suppose x<y)
Posons e = y-x. Il existe a dans A tq 0<a<e d'après 1/
les éléments ka (k entier) sont dans A et l'un d'entre eux est entre x et y

[benekire2]

NON ! il faut utiliser la 1/

soit x et y 2 réels distincts ( on suppose x<y)
Posons e = y-x. Il existe a dans A tq 0<a<e d'après 1/
les éléments ka (k entier) sont dans A et l'un d'entre eux est entre x et y

Relis mon message, je dit exactement ce que tu dit. :ptdr:

[Maxmau]

Relis mon message, je dit exactement ce que tu dit. :ptdr:

effectivement j'ai lu trop vite

[benekire2]

Dit moi, est-ce que tu connais des résultats / méthodes pour étendre ce genre de résultats, ie si je sais que je peut trouver quelqu'un dans ]0,a[ pour tout a positif alors La partie considérée est dense. Ou pareil avec ]b,1[ pour 0
Si c'est stable par addition on peut avoir le même genre de raisonnements, mais dans des cas plus difficiles ça m'étonnerait ...

[Maxmau]

Dit moi, est-ce que tu connais des résultats / méthodes pour étendre ce genre de résultats, ie si je sais que je peut trouver quelqu'un dans ]0,a[ pour tout a positif alors La partie considérée est dense. Ou pareil avec ]b,1[ pour 0<b<1. Bien sûr cela doit dépendre de la tête de la partie considérée. En l'occurence ici ça marche car c'est stable par produit.

Si c'est stable par addition on peut avoir le même genre de raisonnements, mais dans des cas plus difficiles ça m'étonnerait ...

ca fait déjà pas mal comme cas où ça marche
C'est un style de raisonnement assez utilisé
un bel exemple qui me revient est la caractérisation des sous-groupes fermés de (R,+)