Une suite un peu particulière

[Crono]

bonjour!
j'ai un petit sujet qui me tracasse assez, vu que je n'y arrive pas...

Il s'agit de determiner la valeur de :

1 -1/2 +1/3+1/5 -1/4 +1/7+1/9+1/11 -1/6 + inverses de 4 pairs - 1/8.......

merci d'avance et bonne soirée :)

[Mike_51]

Salut. Si j'ai bien compris c'est la série des (-1)^n/n.

Tu peut t'en sortir avec un résultat préliminaire. Tu sais (ou tu peux montrer) que la série des 1/n équivaut en +oo à ln(n)+Y(<-- gamma= constante d'Euler).

Donc tu a: Un=1-1/2+1/3+...+1/(2n-1)-1/(2n)
Un=1+1/2+1/3+..1/(2n)-2*[1/2+1/4+...1/(2n)]
Un=1+1/2+...+1/(2n)-[1+1/2+...+1/n]

D'où Un=Y+ln(2n)+o(1)-Y-ln(n)+o(1) en +oo
Donc lim de Un=ln2.

[mln]

Salut, sinon tu peux utiliser le développement en série entière de ln(1+x) :

En appliquant pour x=1.

[Crono]

j'avoue que la série n'est pas des plus simples, mais il ne s'agit pa de la serie des (-1)^n/n
en fait, on prend :
un inverse d'entier impair (1/1=1), puis on soustrait UN inverse d'entier PAIR, puis on ajout DEUX inverses d'entiers impairs, puis on soustrait UN inverse d'entier PAIR, puis on ajoute TROIS inverses d'entier impairs, on soustrait un inverse d'entier pair, etc. etc.......

[mln]

Mais, au final quand quand tu prends la limite, ca fait pas :
?
peu importe l'ordre dans lequel tu écris les termes quand tu prend la limite.

[abcd22]

Attention, la série de terme général est semi-convergente, mais pas absolument convergente, et si on change l'ordre d'apparition des termes on peut changer la valeur de la somme ! En fait pour toute série semi-convergente de terme général et tout réel , on peut trouver un ordre de sommation tel que la somme donne . Pour le montrer on utilise le fait que tend vers 0, et que les séries de terme général et (dans la première on ne prend que les termes positifs, dans la 2e on ne prend que les termes négatifs) divergent toutes les 2 (si les 2 convergeaient on aurait convergence absolue de la série, si une seule convergeait la série serait divergente). Si on veut une limite positive par exemple, on commence par mettre assez de termes positifs pour dépasser , puis on met des termes négatifs jusqu'à redescendre en dessous de , puis encore des termes positifs pour revenir au-dessus de et ainsi de suite. On montre qu'on obtient bien comme limite en utilisant les 2 propriétés des séries semi-convergentes que j'ai écrites ci-dessus.
Bon, ça nous a pas donné la valeur de la somme tout ça. En général quand on a une somme qui est une permutation d'une série-semi-convergente on essaie de se ramener à des séries connues en regroupant des termes consécutifs dans la somme (mais sans changer l'ordre), là ça donne des trucs pas très simples en regroupant 2 puis 3, 4, 5... termes, je vais essayer d'y réfléchir...

[Crono]

d'accord merci bien pour toutes ces précisions et pour ta reflexion :)

bonne soirée

[abcd22]

Bon, si j'ai pas fait d'erreur de calcul, en regroupant les termes par paquets de 2, 3, 4... et en appelant le m-ième paquet (), on trouve , et en minorant chaque terme de la somme par , on trouve une minoration de par quelque chose qui est positif et équivalent à en l'infini, donc la série des diverge (et la série de départ aussi).