Attention, la série de terme général
est semi-convergente, mais pas absolument convergente, et si on change l'ordre d'apparition des termes on peut changer la valeur de la somme ! En fait pour toute série semi-convergente de terme général
et tout réel
, on peut trouver un ordre de sommation tel que la somme donne
. Pour le montrer on utilise le fait que
tend vers 0, et que les séries de terme général
et
(dans la première on ne prend que les termes positifs, dans la 2e on ne prend que les termes négatifs) divergent toutes les 2 (si les 2 convergeaient on aurait convergence absolue de la série, si une seule convergeait la série serait divergente). Si on veut une limite
positive par exemple, on commence par mettre assez de termes positifs pour dépasser
, puis on met des termes négatifs jusqu'à redescendre en dessous de
, puis encore des termes positifs pour revenir au-dessus de
et ainsi de suite. On montre qu'on obtient bien
comme limite en utilisant les 2 propriétés des séries semi-convergentes que j'ai écrites ci-dessus.
Bon, ça nous a pas donné la valeur de la somme tout ça. En général quand on a une somme qui est une permutation d'une série-semi-convergente on essaie de se ramener à des séries connues en regroupant des termes consécutifs dans la somme (mais sans changer l'ordre), là ça donne des trucs pas très simples en regroupant 2 puis 3, 4, 5... termes, je vais essayer d'y réfléchir...