Exercice suites 1S

[Sidney0]

J'ai un exercice sur les suites mais il y a quelque chose qui m'échappe...

Soit (Un), la suite définie par Uo = 2 et U(n+1) = (Un)/(Un+2)

Démontrer que pour tout entier n, U(n+1)/Un < ou = à 1/2
En remarquant que un/uo = un/u(n-1) * u(n-1)/u(n-2) x ... x u1/uo, démontrer que un < ou = à (1/2)^(n-1)
La suite est elle convergente ? Justifier

Merci d'avance pour votre aide

[mln]

Bonjour,
pour tout entier n, Un>=0. Ca se démontre facilement par récurrence. Donc (Un+2)>=2 donc 1/(Un+2)<=1/2. (ca montre aussi que Un est convergente puisque Un>=0 et (Un) est décroissante)

comme pour tout n, un/uo = un/u(n-1) * u(n-1)/u(n-2) x ... x u1/uo
et U(k+1)/(Uk)<=1/2
alors pour tout n, Un/Uo<= (1/2)^(n)
donc pour tout n, Un <= (1/2)^(n-1)

(1/2)^(n-1) tend vers 0 qd n tend vers l'infini.
Or 0<=Un<=(1/2)^(n-1) donc Un tend vers 0 qd n tend l'infini

[Sidney0]

1/(Un+2)<=1/2, c'est pareil que U(n+1)/Un < ou = à 1/2 ?