Courbe tangente à toute droite

[Skullkid]

Ps - Sinon : ce serait un problème si la limite n'était nulle part dérivable ? si elle est tangente à toute droite?

Il faudrait alors donner un sens à la tangente en un point où la fonction est non dérivable...

[LeJeu]

Il faudrait alors donner un sens à la tangente en un point où la fonction est non dérivable...

Je comprends la question, mais ma toute premire fct de ce post n'était pas dérivable pour tt y = 0 et pourtant tangente pour y = 0 a une droite verticale ?

Je dis un bêtise ?

[Skullkid]

Oui, c'est pour ça que Nightmare a exclu les droites verticales. Quant à moi je n'ai pas été assez précis : si une fonction n'est nulle part dérivable, sa courbe ne peut pas admettre de tangentes autres que verticales, donc elle ne répond pas au problème (qui de toute façon demande explicitement une fonction dérivable).

[Bony]

Simple question : ta question c'est de savoir si il existe une fonction telle que si je trace n'importe quelle droite du plan alors il existe un point de la courbe en lequel c'est la tangente?

[Imod]

C'est bien ça ( sauf pour les droites verticales ) :lol3:

Imod

[Doraki]

les fonctions du type escalier de Cantor ne sont pas dérivables.
je pense pas qu'on puisse avoir de fonction qui a toutes les droites horizontales comme tangente.

[Imod]

Je n'y crois pas non plus mais on a vu bien pire , qu'on a cru impossible jusqu'au jour où ...

Imod

[Dlzlogic]

Bonjour,
Je suis pas persuadé que le problème des droites horizontales ou verticales soit un réel obstacle, on peut toujours faire un changement de base.
Est-ce que Nightmare ne pourrait modifier légèrement l'énoncé et mettre "courbe" à la place de "fonction".
La qualité de "dérivabilité" est-elle importante. A partir du moment où il y a la notion de "tangente à une droite", ça implique la dérivabilité en ce point .

[Zweig]

Bonjour,

Voici une réponse de Prof. Omer ADELMAN (je lui ai soumis le probème hier soir).

Ce serait peut-être plus abordable que ce qu'on pouvait craindre. Si toues les droites non verticales sont tangentes au graphe, c'est en particulier le cas de toutes les droites HORIZONTALES, et l'ensemble des réels y pour lesquels il existe un réel x tel que f(x) = y et f'(x) = 0 (si nous sommes d'accord pour appeler notre fonction "f") serait alors R tout entier. J'ai l'impression que l'ensemble de tels y ne peux pas être trop gros, mais je dois dormir quelques heures. Suite demain (peut-être).

Bonjour, Je continue mon dernier courrier d'hier. Pour comprendre, il faudra avoir étudié un peu la mesure de Lebesgue sur R. Je tâcherai d'expliquer pourquoi la mesure de l'ensemble {f(x) : x réel, f'(x) = 0} est nulle. Pour comprendre cela, il suffit de comprendre pouquoi la mesure de {f(x) : 0 0, A est inclus dans l'ensemble A(e) des x dans ]0, 1[ tels que -e 0 tel que f(]x-p, x+p[) soit inclus dans ]f(x) - 2ep, f(x) + 2ep[, et la mesure de f(]x-p, x+p[) ne dépasse donc pas 4ep. Maintenant, deux possibilités : soit on a étudié sérieusement Lebesgue (ou on veut bien le faire), soit on laisse tomber. Si c'est le premier cas, on doit être capable de voir que tout cela implique que la mesure de f(A) ne dépasse pas 4e fois la mesure de A. Cela étant le cas pour TOUT e > 0, il en découle que f(A) est de mesure nulle.

[ffpower]

hmm, il a refait la demo du lemme de Sard, mais qui comme j'ai dit plus haut n'ai valable qu'en C^1
(je crois..en tout cas chui presque sûr qu'il faut un peu plus que dérivable)

Dans la demo ici l'hypothése C^1 est utilisée à la phrase
"Pour tout x appartenant à A(e), il existe un p > 0 tel que f(]x-p, x+p[) soit inclus dans ]f(x) - 2ep, f(x) + 2ep["

[Doraki]

non, |f'(x)| < e, et on prend p tel que le taux d'accroissement par rapport à x soit dans f'(x)+ ]-e;+e[,
donc pour tout y dans x+ ]-p;p[, |f(y)-f(x)| <= |f'(x)+e||y-x| < (2e)p.
et donc µ(f(]x-p; x+p[)) <= 2e*µ(]x-p; x+p[), certes.

Mais ]x-p; x+p[ n'est pas forcément inclus dans Ae, et c'est ptetre là que le bât blesse.
Après comme ça fait longtemps que j'ai étudié sérieusement la mesure de Lebesgue je suis pas sûr de pouvoir suivre la fin.

[ffpower]

Hum, oui en effet..Sinon, son ensemble Ae justement, bah j'ai l'impression qu'il s'en sert pas vraiment..

Pour faire la fin proprement, je verrai bien un lemme de recouvrement, genre Vitali

Je serai étonné que ça marche, mais vais quand même vérifier :)

[Nightmare]

Hello,

Dans un livre d'oraux X-ENS dans lequel le théorème de Sard est traité en dimension un, je viens de lire que "le théorème est encore vrai si f est supposée seulement dérivable, mais la preuve est plus compliquée".

Reste plus qu'à trouver une preuve de ce machin. Pour le moment, comme vous, j'ai du mal à suivre celle d'Adelman.

[Imod]

Dans un livre d'oraux X-ENS dans lequel le théorème de Sard est traité en dimension un, je viens de lire que "le théorème est encore vrai si f est supposée seulement dérivable, mais la preuve est plus compliquée".

Tu es sûr de ce truc , ça parait fort !

Imod

[Nightmare]

La preuve n'étant pas proposée par l'auteur, ça vaut ce que ça vaut. J'ai essayé de chercher sur le net, j'ai rien trouvé.

[Dlzlogic]

Bonjour,
J'ai essayé de prouver que ce n'était pas possible puisqu'on arriverait à une fonction dont la courbe aurait un axe de symétrie vertical et un axe de symétrie horizontal. Je n'ai vu aucune réaction à cette démonstration. Pas valable, ou trop simpliste, ou fausse ?

[Doraki]

Y'a aucune raison qu'une fonction solution doive être symétrique par rapport à quoi que ce soit.

[Dlzlogic]

Y'a aucune raison qu'une fonction solution doive être symétrique par rapport à quoi que ce soit.

Oui, j'ai compris la nuance entre fonction et courbe représentative d'une fonction.
Mais j'ai un autre argument.
Puisque l'hypothèse est "toute droite ...", à chacune des droites correspond 3 autres droites par symétrie par rapport aux axes.
Pour que cette fonction existe, il faudrait qu'elle possède aussi 2 axes de symétrie.
Par un changement de repère, cette propriété doit aussi être respectée. Ce qui est impossible.

Donc, ma démonstration est fausse. Autant le dire, et surtout quel argument est faux.

[ffpower]

Bon je crois que ça marche effectivement avec le lemme de Vitali.
Je rappelle un énoncé simplifié et sa preuve:
(si I est un intervalle de longueur finie, on note aI l'intervalle de même centre dont la longueur est multipliée par a)

Enoncé: Soit K un compact de R, une famille d'intervalles de longueur finie recouvrant K. Alors on peut extraire une sous famille finie telle que:
1)les sont disjoints
2)la famille recouvre K.

Démarche de la preuve: Quitte à extraire, on peut supposer la famille finie. On choisit
- le plus grand intervalle de cette famille.
- le plus grand intervalle ne rencontrant pas
- le plus grand intervalle ne rencontrant ni ni
ect..
On vérifie que les obtenus marchent..

Pour Sard maintenant: Soit K un compact inclu dans les zéros de f'. Montrons que (m=Lebesgue)
On fixe . On dira qu'un intervalle I est contracté si .
Pour tout x de K, il existe un intervalle centré en x contracté. On applique Vitali à la famille , ce qui permet d'obtenir une famille finie d'intervalles contractés recouvrant K telle que les sont disjoints. On écrit alors
,
Ya plus qu'à faire tendre vers 0.

(edit: pas sûr que ça suffise pour conclure en fait..bon, enfin on est proche en tout cas^^)