Convergence dans un evn

[ftouh]

j'ai qcqs questions : :hein:
Est ce qu'une suite convergente dans un E espace vectoriel normé peut converger au dehors de cet espace .ce que je connais qu'elle peut converger soit dans E soit dans l'adhérence de E , dans ce dernier cas est ce qu'on peut parler de divergence ou bien cette nomenclature est spécifique à R .
Une autre question: E est considéré comme ouvert ou fermé?
Est ce que sa norme est définie même pour les éléments de sa frontière ?

Merci de me répondre.

[girdav]

Je ne comprends pas : dans un espace topologique quelconque, l'ensemble est supposé à la fois ouvert et fermé (ce n'est pas propre aux espace vectoriels normés).

[ThomasM]

Bonjour,
cela depend de la dimension.
Si tu E est un espace vectoriel de dimension finie alors il est complet, et donc toute suite de E converge dans E.

[Bony]

Non. sin(n) ne converge pas.

[Bony]

mais je rejoins l'idée de thomas. Si E est de dimension finie alors il est complet. Mais c'est alors toute suite de cauchy qui converge dans E

[ThomasM]

oui excusez moi, ce que je voulais dire c'est "toute suite convergente de E converge dans E".
En particulier une suite convergente est de Cauchy.
Ensuite qu'entend tu par "frontiere d'un ev"?

[ftouh]

et donc en dimension infine , une suite de E peut converger au dehors de E? dans ce cas ou~ elle converge ?et vous ne m'avez pas répondu sur la question de norme ? et aussi la divergence est t-elle spécifique à R (corps des réels)?

[ThomasM]

je ne peux te repondre pour le moment car je ne sais pas ce que tu veux dire par "frontiere d'un ev"...?
Ensuite comme te l'a fait remarquer girdav a 23h19, dans un espace topologique quelconque, l'espace E est a la fois ouvert est fermé. Donc par definition de la frontiere(adherence\interieur) on obtiendrai le vide, du coup aucun element dans la "frontiere"...