Valeurs pour i ?

[Mamadouap]

Bonjour à tous
Tout d'abord, je n'attends pas de messages du genre "i est un imaginaire ! Il n'a pas de valeurs réelles !". Ça, je le sais déjà
Cependant on tombe sur quelques valeurs amusantes....

Pour commencer, il est facilement démontrable à partir de la formule d'Euler



Que i^i = e^(-(4k*pi+pi)/2) et que
i^(1/i) = e^((4k*pi+pi)/2)
pour tout k entier
et a donc une infinité de solutions
(Je taperais la démonstration si besoin)

On peut en prendre deux valeurs particulières : k=0 :
i^i = e^(-pi/2) et
i^(1/i) = e^(pi/2)
(En sachant que 1/i=i/i²=i/(-1)=-i donc que 1/i=-i) donc :
i^(-1/i) = e^(-pi/2) et
i^(-i) = e^(pi/2)

Qui permettent chacune de trouver des valeurs :

Dans la première équation x^x=e^(-pi/2) il n'y a pas de solution, cependant à l'équation x^(-x)=e^(-pi/2) j'ai trouvé x=2,107299477 (Je suppose qu'il a une forme plus contractée, je suis entrain de la chercher actuellement, si vous savez résoudre cette équation sans calculette c'est bien de vous que j'ai besoin ;p)
C'est à dire que (+2,1073^(-2,1073))=e^(-pi/2)

Dans la seconde équation x^1/x=e^(pi/2) il n'y a pas non plus de solution, cependant à l'équation x^(-1/x)=e^(pi/2) j'ai trouvé x=0,4745409995

Mais ce n'est pas tout :
A l'équation x^(1/x)=e^(-pi/2) on trouve x=0,4745409995 aussi et à l'équation x^(x)=e^(pi/2) on trouve aussi x=2,107299477

De plus 2,1073*0,474541=1 donc ces valeurs ont au moins le mérite d'être cohérentes.

Et quand je dis qu'il n'y a pas de solution à l'équation x^x=e^(-pi/2) c'est car on est alors dans des valeurs négatives irrationnelles du type ((-2,1073)^(-2,1073)) cependant si on regarde ((-2)^(-2)) ça vaut 0,25, ce qui est tout à fait réel et plutôt proche de e^(-1/2) donc on peut approcher une des valeurs de i.
Dire ça comme ça va être mal vu mais je trouve ça assez amusant :p

Quoi qu'il en soit, comme je disais, maintenant j'aimerais trouvé la version "contractée" de ces nombre (2,1073 et 0,474541) c'est à dire, pas en chiffre mais sous la forme x=... donc en résolvant les équations que je vais remettre ici, avec la démonstration si possible.

x^(-x)=e^(-pi/2)
x^(-1/x)=e^(pi/2)
x^(1/x)=e^(-pi/2)
x^(x)=e^(pi/2)

Merci d'avance

[Doraki]

i^i =

c'est quoi ta définition de x^y pour x et y complexes ?

A part ça j'pense pas qu'il existe une écriture simple pour "la solution de x^(-x) = e^(-pi/2)"

[Mamadouap]

La même que pour un exposant réel.
De toute façon la valeur de i^i est reconnue, regarde sur ta calculette, sur google, etc.
Si tu veux la démonstration de cette valeur je peux la poster ici, elle n'est pas très compliquée.

[Doraki]

La même que pour un exposant réel.

j'ai des définitions de x^y pour x complexe et y entier,
et pour x réel strictement positif et y réel quelconque,

mais j'ai pas l'impression qu'elles s'adaptent bien pour x et y complexes.
D'ailleurs même pour x et y réels quelconques j'ai pas de définition.

J'ai pas de calculatrice.

[Mamadouap]

Je n'ai pas non plus de définition mais là, ça découle simplement de la formule d'Euler.

Je vais le démontrer ça sera plus clair :

Par la formule d'Euler
e^ix=cos x + i sin x

On prend x=pi/2
e^ipi/2=cos pi/2 + i sin pi/2=0+i*1=i

J'applique un ln de chaque côté
ln e^ipi/2 = ln i

Par définition du ln
ipi/2 = ln i

Je divise par i de chaque côté
pi/2 = (ln i)/i

Je met pi/2 sous la forme ln e^pi/2 et je divise par ln i de chaque côté
(ln e^pi/2)/(ln i)=1/i

Par les propriétés des logarithmes : (log a)/(log b) = log(base b) a =>
log(base i) e^pi/2 = 1/i

Et je peux mettre 1/i sous la forme log(base i) i^1/i
log(base i) e^pi/2 = log(base i) i^1/i

Si log (a)=log (b) alors a=b
e^pi/2=i^1/i

De manière plus générale, on prend x=(4k*pi+pi)/2 avec k entier, ce qui fait
e^((4k*pi+pi)/2)=cos ((4k*pi+pi)/2) + i sin ((4k*pi+pi)/2)=0+i*1=i
Et donc i^i=e^((4k*pi+pi)/2)

Voilà on a ici une des quatre démonstrations, c'est la plus simple mais les autres sont à peines différentes, elles suivent le même schéma.

[Nightmare]

C'est quoi ta définition de ln(i) ?

[Doraki]

La seule définition qu'on ait c'est la fonction exponentielle :
Pour z complexe, exp(z) = 1 + z + z²/2! + z^3/3! + ...
Et elle vérifie la propriété exp(x+y) = exp(x)*exp(y)

Ensuite on définit pour z complexe,
cos(z) = 1 - z²/2! + z^4/4! + ...
et sin(z) = z - z^3/3! + z^5/5! - ...

Et l'identité exp(i*x) = cos(x)+i*sin(x) résulte directement de ces définitions

Le reste, (log, etc), ça ne se comporte pas bien.
d'ailleurs tu dis toi même que tu peux démontrer que i^i a une infinité de valeurs ?
Moi j'trouve ça gênant que i^i ait une infinité de valeurs. Je pensait que quand on doit faire un calcul on a un seul résultat à la fin.
Après quoi, on va dire que i^i^i^i est une valeur dense dans C ?

[Mamadouap]

Pour nightmare
Je reprends e^ipi/2=cos pi/2 + i sin pi/2=i
donc
ln e^ipi/2=ln i
ln i =i pi/2 (et ça fonctionne à la calculette aussi, si tu as une calculette scientifique)


Pour Doraki:
Je disais effectivement que i^i a une infinité de solution, mais je ne vois absolument pas le problème, si je prends sin(x)=0 ça a aussi une infinité de solution : 2k pi pour tout k entier. Est ce que ça te dérange pour autant ? Enfin ça c'est une équation si tu préfères sous forme de calcul, arcsin(0) admet une inifinité de solutions, comme je disais 2k pi pour tout k entier.
Et c'est exactement le même type de "k" étant donné que si cette équation a une infinité de solution c'est justement parce que dans la formule d'Euler, on a un sinus et qu'on peut faire +2k pi

[Nightmare]

Moi je comprends pas ton passage au logarithme.

Pour moi le log, c'est la réciproque de l'exponentielle réelle, qui a le bon goût d'être bijective, donc d'admettre une réciproque, heureusement pour le log.

Par contre, l'exponentielle complexe, étant donné qu'elle n'est pas bijective, je vois mal ce que c'est que son log.

Sachant que exp(2ipi)=exp(4ipi)=1, a-t-on ln(exp(2ipi))=ln(exp(4ipi)) donc 2ipi=4ipi ?

[Mamadouap]

Sauf que ln 1=0 :)

Donc on a ici ln (1)=ln (1) donc 0=0
Pas de probleme dans cette équation

Effectivement exp(2kpi i)=1 ce qui offre plusieurs solutions et si on les prenait toutes
ln exp(2kpi i)=0 (k=0), 2pi i, 4pi i etc
Mais il s'agit là d'une fonction !
Comme je disais pour le sinus
sin(0)=sin(2 pi)=sin(4 pi)
Et 0=/=2 pi=/=4 pi, non ?

[Doraki]

Pour Doraki:
Je disais effectivement que i^i a une infinité de solution, mais je ne vois absolument pas le problème, si je prends sin(x)=0 ça a aussi une infinité de solution

Non non non
i^i c'est censé être un nombre, une valeur.
sin(x)=0, c'est une équation à propos d'un nombre réel x, ça a le droit d'avoir un ensemble de solutions aussi bizarre qu'on veut.

sqrt(2) c'est un nombre, y'en a qu'un seul.
x²=2 c'est une équation à propos d'un un nombre réel x, qui a deux solutions.
Il se trouve que le nombre sqrt(2) est une de ces solutions.

[Mamadouap]

Oui je savais que tu coincerais parce que c'est une équation, c'est pour ça que j'ai édité, reprends donc l'exemple de arcsin(0) qui est "un nombre" mais peut aussi en être beaucoup une infinité. (0, 2pi, 4pi...)
Ou alors tu définis ton arcsin(0) comme étant =0
Mais on peut faire pareil avec i^i qui, comme on le trouve partout est =e^(-pi/2), pour les e^(-(4k*pi+pi)/2) c'est moi qui ai trouvé ça par la démonstration, mais on peut faire exactement la même chose pour un arcsinus.

[Doraki]

Dans la définition de arcsinus ils disent explicitement un truc du genre "l'angle dans [-pi/2 ; +pi/2[ dont le sinus vaut x".
Il faut avoir des définitions précises ça aurait pu être n'importe quel autre intervalle ou des trucs encore pire. Si t'es pas capable de donner une définition précise de arcsin alors que tu l'utilises dans un calcul, ben c'est pas une bonne chose parceque si ça se trouve tu penses à arcsin avec "l'angle dans ]-pi/2 ; +pi/2] ou alors "l'angle dans [-pi/2; 0] U ]+pi/2; +pi[" et on pouvait pas le deviner. Ou pire tu changes ta définition de arcsin pendant ton calcul, qui sait.

En l'occurence, tu utilises des tas de trucs comme log(z) ou z^y, et on sait pas ce que ça veut dire.
Tant que tu nous donnes pas des définitions complètes de ce dont tu parles on ne peut pas commenter ce que tu fais.

Toi t'es du genre à dire "la puissance et le log sont bien sûr définis sur C tout entier et tout ce qui est vrai dans R est bien sûr aussi vrai dans C, donc 2 = e^log2 = e^(2ipi * (log2 / 2ipi)) = (e^2ipi)^(log2 / 2ipi) = 1 ^ (log2 / 2ipi) = 1 et j'ai cassé les maths".

[Nightmare]

Sauf que ln 1=0

Donc on a ici ln (1)=ln (1) donc 0=0
Pas de probleme dans cette équation

En quoi ça contredit ce que j'ai dit?

Il n'en demeure pas moins que si on suit tes propriétés venues de nulle part, ln(exp(2ipi))=ln(exp(4ipi)) donc 2=4.

Effectivement exp(2kpi i)=1 ce qui offre plusieurs solutions et si on les prenait toutes
ln exp(2kpi i)=0 (k=0), 2pi i, 4pi i etc
Mais il s'agit là d'une fonction !
Comme je disais pour le sinus
sin(0)=sin(2 pi)=sin(4 pi)
Et 0=/=2 pi=/=4 pi, non ?

Qui est censé être une fonction? C'est ce qu'on essaye de t'expliquer avec Doraki, c'est que dans les réels, il existe une unique fonction logarithme népérien, Dans C, c'est plus du tout vrai, donc ça n'a pas de sens d'appliquer cette fonction vu qu'il n'y en a pas qu'une qui joue le rôle de réciproque de l'exponentielle complexe.

Si tu veux appliquer un logarithme, il faut préciser lequel, et selon celui que tu appliqueras, tu obtiendras des résultats différents. C'est pour cette raison que i^i ne représente pas une seule valeur.

[Mamadouap]

Nightmare => J'ai déja répondu à ton coup de 2=4
sin (2pi)=sin (4pi)
arcsin (sin (2pi))=arcsin (sin (4pi))
2pi=4pi
2=4
J'ai fais la même démonstration que toi, mais dans les réels, juste parce que j'applique aucune définition.
Donc OUI j'ai bien compris ce que vous me dites, il faut appliquer une définition mais je n'ai pas dit qu'il n'en existait pas. ln i est défini comme (i pi)/2 comme je l'ai démontré.
Je vais arrêter de parler en solutions multiples vu que c'est ça qui vous trouble, or c'était juste pour dire qu'il en existe plusieurs (tout comme dans les fonctions sinus et arcsinus).

Et je suis sûr de ma définition du ln étant donné que je n'invente pas ces résultats mais qu'ils sont trouvables un peu partout si on cherche un minimum. Donc voilà maintenant j'ai précisé "lequel" j'applique comme tu dis.

Doraki => Même message, il faut travailler sur un interval donné, oui ok, même explication (par contre changer la définition de l'arcsin en plein milieu d'un calcul, je suis pas persuadé personnellement ?)

Mais si vous suivez sérieusement les calculs que j'ai fais, je les ai toujours fais sur un interval donné (et vérifié, j'ai une calculette scientifique qui fait ce genre de calcul avec des imaginaires et qui comprend les calculs du genre ln (i) en remettant toujours sur un interval donné (par exemple ln e^pi i=pi i et ln e^3pi i = pi i aussi)) et c'est uniquement en fin de démonstration que je généralise avec les k.
Sinon, j'aime bien quand tu casses les maths, mais je n'ai fais aucun passage de ce style dans mes calculs. Au pire, si t'es pas persuadé par le i^i tu peux toujours vérifier sur la calculette de google, vu que tu n'en a pas.

http://www.google.be/search?q=0%2C7454&ie=utf-8&oe=utf-8&aq=t&rls=org.mozilla:fr:official&client=firefox-a#sclient=psy-ab&hl=fr&client=firefox-a&rls=org.mozilla:fr%3Aofficial&biw=1680&bih=802&source=hp&q=i%5Ei&pbx=1&oq=i%5Ei&aq=f&aqi=g4&aql=1&gs_sm=e&gs_upl=2064216l2064979l0l2065427l3l2l0l0l0l0l390l724l3-2l2l0&bav=on.2,or.r_gc.r_pw.,cf.osb&fp=4dadcd264339b48b

http://www.google.be/search?q=0%2C7454&ie=utf-8&oe=utf-8&aq=t&rls=org.mozilla:fr:official&client=firefox-a#sclient=psy-ab&hl=fr&client=firefox-a&hs=3SJ&rls=org.mozilla:fr%3Aofficial&source=hp&q=e%5E%28-pi%2F2%29&pbx=1&oq=e%5E%28-pi%2F2%29&aq=f&aqi=g-L1g-vL3&aql=1&gs_sm=e&gs_upl=4594l4594l4l5208l1l1l0l0l0l0l290l290l2-1l1l0&bav=on.2,or.r_gc.r_pw.,cf.osb&fp=4dadcd264339b48b&biw=1680&bih=802


i^i = 0,207879576
e^((-pi) / 2) = 0,207879576

Et quelques autres sources, histoire que je passe pas trop pour un fou
http://answers.yahoo.com/question/index?qid=20090223102013AAlP5ly
http://sprott.physics.wisc.edu/pickover/trans.html
http://www.echolalie.org/wiki/index.php?ListeDeNombresTranscendants
...
Bref ces nombres sont reconnus

Dans tous les cas ma question de départ c'était de résoudre 4 équations, qui ne nécessitent même pas de complexes en fait :p

[Nightmare]

Donc OUI j'ai bien compris ce que vous me dites, il faut appliquer une définition mais je n'ai pas dit qu'il n'en existait pas. ln i est défini comme (i pi)/2 comme je l'ai démontré.

Je ne comprends pas, comment peux-tu à la fois "définir" et "démontrer" que ln(i)=i*pi/2.

Et je suis sûr de ma définition du ln étant donné que je n'invente pas ces résultats mais qu'ils sont trouvables un peu partout si on cherche un minimum. Donc voilà maintenant j'ai précisé "lequel" j'applique comme tu dis.

Non tu n'as pas précisé lequel, où alors, je veux bien que tu me dise où.

Sinon, j'aime bien quand tu casses les maths, mais je n'ai fais aucun passage de ce style dans mes calculs. Au pire, si t'es pas persuadé par le i^i tu peux toujours vérifier sur la calculette de google, vu que tu n'en a pas.

Une calculette, c'est tout sauf une preuve. C'est nous ce qui prouvons ce qu'écrit la calculatrice, pas le contraire.

En l'occurrence, la calculatrice, vu qu'on allait pas lui donner une infinité de valeur pour i^i, on en a choisi une. Ca ne veut pas dire que c'est la seule.

[Le_chat]

Pour moi, on dit ici que i^i est l'ensemble des nombres complexes tel qu'il existe un logarithme complexe tel que i^i=exp(i*log(i)), ça doit nous donner les mêmes ensembles que l'auteur.

Concernant le problème "comment résoudre x^x=truc sur R", à moins d'un gros coup de bol, tu ne peux pas exprimer la solution facilement avec des fonctions usuelles, il faut utiliser la fonction W de Lambert qui est la réciproque de x->x*exp(x)

[Anonyme]

@Mamadouap
Toi qui aime les maths , tu devrais être bluffé par l'équation "magique" :
qui arrive à associer 3 nombres complétement différents, qui combinés de cette façon arrive à donner le nombre 1

C'est pourquoi je dis que c'est une équation magique car
est un nombre qui vaut ~~
est un autre nombre qui vaut ~~
et est un 3ième nombre tel que

Essaie te taper sur ta calculatrice

A mon avis avec est ce qu'on appelle une "notation"
et il ne faut pas confondre "notation" avec "fonction"
La fonction "exponentielle réelle" n'est pas le même objet mathématique que la fonction "exponentielle complexe"

[Doraki]

Donc en fait ta définition de ln c'est "ln(x) est ce que ma calculatrice me répond quand je lui demandes ln(x)" ?

[Sylviel]

@mamadouap : juste pour ton info, sache que Doraki et Nightmare sont deux des meilleurs mathématicien du forum. Quand ils te disent "je ne comprends pas ta définition de ..." ça ne veux pas dire "c'est trop compliqué pour moi" ça veux dire "tu ne l'as pas expliqué clairement, rigoureusement". Et écoute leurs réponses, elles sont fondées sur des connaissances mathématiques assez poussées.

Maintenant c'est intéressant que tu te pose ce genre de question, y'a pas mal à y apprendre.


L'un des problèmes évoqué ici c'est qu'il n'y a pas de fonction logarithme complexe. Sinon

on "passe au log" (ce qui n'est pas possible)

et finalement 1=7...