Intégrale généralisée et développement limité

[beuj]

Bonjour,
je souhaiterais un petit coup de pouce pour un problème :

Soit une fonction définie sur

1) montrer que f est prolongeable par continuité en 0 Ok, j'ai trouver que f est prolongeable en posant

2)en utilisant la formule suivante valable pour tous x>0 : effectuer un développement limité d'ordre 2 de f au voisinage de l'infini.
3)en déduire que est convergente

Je suis bloquer à la 2)... évidement, ce qui m'empêche de répondre à la 3)...mais j'ai mon idée pour la dernière.
Pour la 2), je vois bien que l'équation des arctan et f(t) sont proches, mais je n'arrive pas à établir de lien. J'ai fait des DL de chaque expressions, mais je ne vois où cela me mène.
Merci pour vos coups de pouce.

[laya]

Bonsoir,

Soit la restriction de la fonction inverse sur . Si tu fais un développement limité de au voisinage de 0, peux-tu en déduire un DL de au voisinage de ?

[beuj]

Bonsoir Iaya,
J'ai fais un changement de variable pour les DL. J'ai posé avec ... si c'est ce que tu veux dire (sinon, je n'est pas compris ta phrase... :euh: )

[laya]

Bonsoir Iaya,
J'ai fais un changement de variable pour les DL. J'ai posé avec ... si c'est ce que tu veux dire (sinon, je n'est pas compris ta phrase... :euh: )

Oui, je n'aime pas parler de changement de variable dans ce cas (i.e DL) mais c'est l'idée.
(Quand tout ça est bien défini). Après, il faut utiliser les DL de fonctions usuelles.

[beuj]

Salut,
j'ai revue ma copie, mais je ne trouve pas comme toi. En posant , et après le DL en 0, j'ai . En revenant à la variable d'origine et avec le critère de Riemann, je peux conclure que l'intégrale converge...non?