Discontinuité totale de ( Q , T ) .

[Pat1]

Bonjour ,


Peut-être est-ce le manque de temps qui m ' amène à demander une idée permettant de démontrer que , en désignant par T la topologie induite dans Q ( ensemble des nombres rationnels ) par la topologie dans R usuelle , le sous-espace topologique ( Q , T ) est ( d ' après Wiki en tous les cas ) totalement discontinu .
Doit-on raisonner par l ' absurde donc utiliser un rationnel hypothétique dont la composante connexe relative à T contiendrait ( au moins ) une paire et définir une application de cette paire vers { 0 , 1 } continue relativement à la topologie induite dans la première paire par T et à la topologie discrète qui ne soit pas constante ?

Merci par avance .

[Doraki]

Pour tout x et y rationnels distincts, tu peux chercher une fonction continue de Q dans {0,1}, telle que f(x)=0 et f(y)=1, ou (ce qui revient au même), chercher une partie ouverte et fermée de Q qui contienne x mais pas y.

[Pat1]

Je te remercie .
Mais je me demande comment le fait de trouver une application définie dans Q permettrait de conclure . En fait on n ' est pas vraiment habitué à déterminer des composantes connexes de points d ' un espace topologique .
Qu ' est-ce qu ' un membre complexe ?

[Doraki]

Dans le cas de Q, il faut montrer qu'il n'y a pas d'ensemble connexe contenant 2 points distincts.
Donc on prend une partie X de Q contenant deux rationnels distincts x et y, et on montre que X n'est pas connexe :
Si U est un ouvert-fermé de Q contenant x mais pas y, on a une décomposition de X en deux ouverts-fermés de X non triviaux : X = (X inter U) union (X privé de U). Donc X n'est pas connexe.
Donc les seules parties connexes de Q sont les singletons.

[Pat1]

Doraki ,

Merci .
Nous pouvons supposer y supérieur ( donc sup strictement ) à x .
Analysons notre problème . Supposons qu ' existe une telle partie U . Puisque celle-ci est un ouvert de Q ( relatif à la topo usuelle ) , elle est la trace sur Q d ' une suite ( famille dénombrable ) d' intervalles de ( R , <= ) ouverts . Essayons de nous placer ( Nous analysons notre problème . ) dans le cas simple où une telle suite est un intervalle , que nous pouvons a priori supposer borné : désignons par r la borne inf de cet intervalle dans ( R , <= ) et par s la borne sup de cet intervalle dans cet ensemble ordonné . Quitte à " étendre cet interalle vers la gauche " , nous pouvons supposer le réel r irrationnel . Tout intervalle de ( R , <= ) contenant une infinité d ' irrationnels nous pouvons supposer s irrationnnel .
Comme dans tout ensemble ordonné , existe dans ( Q , <= ) la notion d ' intervalle ( Le résultat que nous aurons démontré prouvera que les intervalles de cet ensemble odonné qui ne sont pas réduits à un élément ne sont pas connexes . ) .

Je suppose que , du fait de l ' irrationalité des bornes , l ' intervalle de (Q , <= ) [ r , s ] , trace sur Q de l ' intervalle analogue de ( R , <= ) , égale l ' intervalle de ( Q , <= ) ] r , s [ .

Si tel est bien le cas la synthèse associée à l ' analyse précédente me semble facile à rédiger .

[arnaud32]

si tu supposes que Cx n'est pas {x} tu as y dasn Q, distincts de x, quie st dans Cx
tu peux aussi trouver u irrationnel qui est entre les deux

Cx inter ]-oo,u] est un ferme de Cx
Cx inter ]-oo,u[ est un ouvert de Cx
mais ces deux parties sont egales car u n'est pas dans Q
Cx inter ]-oo,u] et Cx inter [u,+oo[ sont donc deux parties non vides de Cx qui sont ouvertes et fermee, ce qui est absurde

[Pat1]

Arnaud ,


Je te remercie sincèrement .
J ' étais sur une bonne voie , l ' irrationnel que j ' avais désigné par s jouant le même rôle que celui que tu as désigné par u , mais , vraisemblalemet à cause de la fatigue , j ' avais raisonné comme si U était minorée dans ( Q , <= ) .
Quoi qu ' il en soit , le point central semble être la constatation du fait qu ' inclure une borne irrationnelle ne modifie pas , dans Q , l ' intervalle considéré .

[Pat1]

Bonjour ,


N ' est-il pas singulier qu ' un ensemble indénombrable , R , soit la réunion des supports de deux espaces topologiques totalement discontinus relativement aux toplogies usuelles , R et R - Q ?

Merci par avance .