Equations et réels

[arno59]

Bonjour,

je fais appel à votre aide après avoir passé plusieurs heures à réfléchir.
L'équation de départ est : 1/2 (7x au cube-3x²-15x-190/49). Je dois montrer que l'équation f(x)=0 possède trois solutions réelles dont on donnera une valeur approchée à 10-1 près. Je suis perdu et ne sais pas comment faire. Pourriez vous me mettre sur la voie ?
Merci d'avance

[Dlzlogic]

Bonjour,
D'abord, il faut dessiner cette courbe sur un papier.
Que voit-on ?

[arno59]

f croît strictement sur ]-l'infini; -1,5[ et l'équation n'a pas de solution dans cet intervalle

[Sylviel]

Si tu connais les dérivées, il te faut étudier la fonction :
- calculer la dérivée
- étudier son signe
- tracer le tableau de variation
- en déduire le nombre de racine
- les approximer par dichotomie numérique

[arno59]

J'ai fais les 3 premières étapes mais qu'est ce que la dichotomie numérique ?
Pour le reste, je trouve f'(x)= 21x²-6x-15. La dérivée est positive et a 2 racines qui sont -5/7 et 1

[Sylviel]

et bien sur chaque intervalle où il ya une racine, tu essaie de la trouver (en t'inspirant de la courbe par exemple). Exemple : imaginons que tu veuilles trouver le zéro de la fonction f(x)=x+1 :
tu sais qu'elle est croissante. Tu essaie -2 : f(-2)=-1 <0; tu essaie 2 (plus grand que -2 puisque la fonctioné tait croissante et que le premier essai était trop petit) : f(2)=3 >0. Maintenant on va essayer un nombre entre 2 et -2 : on prend le milieu, donc 0 --> f(0)=1>0. On essaie maintenant entre -2 et 0 (le premier a une image négative, le second une image positive), par exemple le milieu : -1, coup de bol c'est la bonne valeur :-)

Ce qu'il faut retenir c'est que tu essaie à la calculatrice, et si la fonction est monotone et que tu as f(a)<0, et f(b)>0 alors la racine est entre a et b...

[arno59]

Merci beaucoup pour ces indications ! Elles me seront très utiles

[arno59]

Cependant, j'ai du prouvé précédemment qu'il existait & unique dans [-1,5;-5/7[ vérifiant f(&)=0. Cela m'embrouille car on me demande de prouver qu'il y a une solution et qu'ensuite il y en a 3 :doh:

[Dlzlogic]

Oui, mais, il peut très bien y en avoir une entre -1.5 et -5/7 et deux autres ailleurs.
La dérivée a 2 ravines (-5/7 et 1) qu'est-ce que ça signifie ? pourquoi c'est important de le savoir ?