Petite question valeur propre/vecteur propre

[nico742]

Salut,
cela faisait bien longtemps que je ne manipulait plus ces fameuses valeurs propres alors forcément j'ai oublié pas mal de choses.
Donc j'ai une petite question, j'ai une matrice triangulaire 3x3, j'ai une valeur propre simple et une valeur propre double.

Ma question porte sur le vecteur propre associé à cette valeur propre double. En td on a calculé un vecteur propre en suivant la définition classique AV1=;)V1.
Mais par la suite on a calculé un deuxième vecteur propre toujours sur cette même valeur propre en utilisant : AV2=V1-;)V2

C'est fort possible que ce soit une formule usuelle que j'ai totalement oubliée, mais quelqu'un peut il m’expliquer de ou ça sort ?

Merci d'avance :)

[Skullkid]

Salut, j'imagine que ta matrice n'était pas diagonalisable, c'est-à-dire en l'occurrence que le sous-espace propre associé à est de dimension 1, alors que est valeur propre double. Donc, comme on ne peut pas la diagonaliser, on va essayer de la mettre sous la forme la plus agréable possible, la plus proche possible d'une matrice diagonale, et pour ce faire on va l'exprimer dans une nouvelle base (V0,V1,V2), dont les deux premiers vecteurs seront des vecteurs propres (V0 associé à la valeur propre simple et V1 associé à ). Dans cette nouvelle base, la matrice sera de la forme , et il ne reste plus qu'à choisir V2 pour que la matrice soit la plus agréable possible.

Tu dis que dans ton TD ils ont cherché V2 tel que AV2 = V1 - V2, mais ce ne serait pas plutôt AV2 = V1 + V2 ? De sorte à avoir a1 = 0, a2 = 1 et a3 = au lieu de a1 = 0, a2 = 1 et a3 = -;). Quoi qu'il en soit, V2 n'est pas un vecteur propre de ta matrice.

Si tu veux en savoir plus sur la théorie qu'il y a derrière, tu peux te renseigner sur les sous-espaces caractéristiques et la décomposition de Jordan.

[nico742]

En effet c'est une erreur, on a bien utilisé l'expression avec le + en td.
Merci !

[eros90]

une foret de 24 km sur 24 km est quadrillée par des chemins forestiers séparés de 4 km et parallèles aux cotès de la forêt.