Nombres complexes et equation du 4e degré

[pimpoum]

Bonjour,

j'ai l'exercice suivant:

P(z)=z^4 - 3z^3 + (9/2)z^2 - 3z +1

1) Montrer que si alpha est racine de P, alors le conjugué de alpha est aussi une racine de P.


La seule manière que je peux imaginer, c'est de calculer et de developper P(x + iy) et P(x - iy) mais les développements sont tellement énormes que je ne pense pas être sur la bonne voie...


Merci pour votre aide...

[Sylviel]

Non pas du tout la bonne méthode. Indication : si Z=0, alors :we:

Donc si tu as P(z)=0, tu peux dire que ...

[pimpoum]

merci pour ta réponse

je ne suis pas sûr de comprendre



Est ce que ça veut dire que si z=0 alors son conjugué est aussi égal à zéro (c'est à dire 0 en partie imaginaire et zéro en partie réelle?)

Et que donc si on prend P(z) comme étant aussi un nombre complexe avec partie imaginaire et partie réelle, si il est égal à zéro, alors il n'a pas de partie imaginaire et pas de partie rélle. et que donc son conjugué est égal à zéro?

Donc si p(z)=0 alors conjugué de p(z)=0

De plus comme (dans mon cours) on me dit:

conjugué de (z + z')= conjugué de z + conjugué de z'

P(z)=0
alors P(conjugué de z)= 0 (z par z barre dans le polynome)


désolé pour les "conjugué de" mais est-ce que mon raisonnement est juste?

MErci

[low geek]

Bonjour,

Soit j'ia mal compris, soit c'est pas ça..
(petite note: C(z)= conjugué de z
C(P(z))= conjugué de p(z)
Ce qu'il te demande de faire c'est:

P(z)=0

tu est d'accord que l'égalité reste la même si on met C(P(z))=C(0) ?
ca donne C(P(z))=0
or P(z)=z^4 - 3z^3 + (9/2)z^2 - 3z +1 donc
C( z^4 - 3z^3 + (9/2)z^2 - 3z +1)=0

Après tu n'a plus que quelques lignes a faire pour tombé sur l'équation p(C(z))=0 ;)