Un étude de fonction :)

[plastik]

Bonjour à tous
Par cette belle journée j'ai un exercice à vous soumettre lequel me pose quelques difficultés à cause d'exponentielles
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=(x²-3x-3)e^-2x

1.Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de definition
2.Montrer que f est continue sur R
3.Montrer que f est dérivable sur R
4.Calculer la derivée de f
5.Etudier le signe de f'(x)
6.Dresser le tableau de variation de f
7.Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de f au point x=0
8.Montrer que l'équation f(x)=0 admet 2 solutions: a et b; ON determinera leur valeur approchée à 10^-1 près
9.Résoudre f(x)=0 sur R et en déduire le signe de f sur R

Ce que j'ai fais:
1.limite en +00
lim x²=+00
lim e^-2x=+00
lim f(x)=+00
x-->+00

lim en -00
lim x²=+00
lim e^2x=-00
lim f(x)=-00
x-->-00

2.POur montrer la continuité de f voyans sa lim en o
lim x²-3x-3=-3
x-->0
lim e^-2*0=1
x->0

lim f(x)=3
x-->0
f est donc continue sur R

3.f est dérivable car nous avons un produit de 2 fonction respectivement dérivables elles même

4.f'(x)=u'v+v'u
Avec u=x²-3x-3
v=e^-2x
u'=2x-3
v'=e^-2
On obtient : f'(x)= (2x-3)e^-2x + e^-2(x²-3x-3)

Mais c'est à partir de la que je doute mais pourriez vous me corriger ce que j'ai fais pour l'instant car étant donné que j'ai besoin de la question 4. pour continuer si elle est fausse le reste de mon exo risque d'étre tout aussi faux

Voila c'est parti

[Teacher]

3) f est dérivable sur R car c'est un produit de deux fonctions dérivables sur R.

On obtient : f'(x)= (2x-3)e^-2x + -2(x²-3x+3)e^-2x
Car :
u=x²-3x-3
v=e^-2x
u'=2x-3
v'=-2e^-2x

[plastik]

3) f est dérivable sur R car c'est un produit de deux fonctions dérivables sur R.

On obtient : f'(x)= (2x-3)e^-2x + -2(x²-3x+3)e^-2x
Car :
u=x²-3x-3
v=e^-2x
u'=2x-3
v'=-2e^-2x

Pardon mais je ne vois pas pourquoi ce -2 o_O"

[Teacher]

Car la dérivée de e^(u) est u ' e^(u) !

[plastik]

Ok alors mais est ce que ce que j'ais fais avant est correct meme au niveau de la rédaction?

[Teacher]

Pour les limites tu pourrais écrire d'après le plus haut degré.
Pour la 2 c'est totalement faux. Qu'est ce qu'une fonction continue sur I ?

[plastik]

C'est une fonction qui admet une limite finie en un point precis il me semble

[plastik]

j'ai faux?

[Fantomete]

Salut,

Non, ta définition est juste mais comme tu le dis pour un point PRECIS.
Exemple : f est-elle continue en 2 ?
Là tu calcules la limite de f(x) au point 2.

Seulement là, la question c'est, f est elle continue sur R ? R n'est pas un point précis, mais un ensemble de nombre.

Donc, il faut que tu démontres que la fonction f est continue sur R, simple définition de ton cours.

Ré-écris la dérivée, pour la suite :)

+++

[plastik]

Voila ce que j'ai fais finalement
1)En +00
lim x²-3x-3=+00
lim e-²x=0 car -2x² tend verx -00

lim f(x)=0
x-->+00

En -00
lim x²-3x-3=+00
lim e-²x=0

lim f(x)=0
x-->-00

2)f est continue sur R car la composée de 2 fonction continue est continue( polynome+exp)

3) f est dérivable sur R car nous avons un produit de 2 fonctions derivables

4) la dérivée de f sur R est:
f(x)=u'v+v'u avec
u=x²-3x-3
v=e-²x
u'=2x-3
v'=-2e-²x
d'où f'(x)= (2xe-²x)e-²x - 2(x²-3x+3)
f'(x)= (2x-3-2x²+6x+6)e-²x
f'(x)= (-2x²+8x+3)e-²x
On sait que la fonction exp est positive sur R donc exp-²x>0 le signe de f(x) est donc donné par -2x²+8x+3 or d'apres le tableau qu'on obtient en calculant delta, x1 et x2 f(x) est croissant de ]-0.34;4.34[ et décroit sur ]4.34;+00[

5) D'apres l'etude du signe précédemment déduis on obtiens ceci:

x -00 -0.34 4.34 +00
f'(x) - + -
decroit croit decroit

6)Equation de la tangente en x=0
y= f'(0)(x-0)+f(0)
f'(0)= 3
f(0)= -3
y= 3x-3

7) f(x)= (x²-3x-3)e-²x
x²-3x-3=0 le resultat sera a ou e-²x=0 resultat sera b
....

8) f(x)=0
x²-3x-3=0
x1= 3-rac21/2 x2= 3+rac21/2 ou exp-²x=0

S={3-rac21/2;1;3+2rac21/2}

[plastik]

Me suis je trompé alors verdict :doh: :lol3: :hein: :id:

[plastik]

? pourrait-on me donner une réponse ¿

[plastik]

N'ayez pas peur de la longueur de l'exercice la quantité ne fais malheureusement pas la qualité c'est pourquoi il me faut votre correction :)

[Fantomete]

Salut,

Si c'est pas urgent, je tente de vérifier demain soir, mais ce soir trop fatigué.

[plastik]

no problem :)

[Fantomete]

Voila ce que j'ai fais finalement
1)En +00
lim x²-3x-3=+00
lim e-²x=0 car -2x² tend verx -00

lim f(x)=0
x-->+00
Attention : La limite d'un membre qui tend vers l'infini multiplier par la limite d'un membre qui tend vers 0 est une Forme Indéterminée !

Lim -00:
lim x²-3x-3=+00
lim e-²x=0

lim f(x)=0
x-->-00

Attention ! Mise à part la même erreur que dans le calcul de la limite en +00, tu t'es tromper dans la limite en -00 de e-²x ! ( De plus, tu n'as pas tapé ta fonction à la calculatrice ? Ne remarque-tu pas que la limite en -00 n'est pas vraiment égale à 0 ?)


2)f est continue sur R car la composée de 2 fonction continue est continue( polynome+exp)
==> Pour moi c'est juste.

3) f est dérivable sur R car nous avons un produit de 2 fonctions dérivables
==> Pour moi c'est juste.


4) la dérivée de f sur R est:
f(x)=u'v+v'u avec
u=x²-3x-3
v=e-²x
u'=2x-3
v'=-2e-²x
d'où f'(x)= (2xe-²x)e-²x - 2(x²-3x+3)
f'(x)= (2x-3-2x²+6x+6)e-²x
f'(x)= (-2x²+8x+3)e-²x
C'est juste ! Bien d'avoir mis l'exponentiel en facteur. Par contre, je ne vois pas comment t'es arriver aussi vite au résultat, sachant que la formule que tu as mis au départ ne correspond pas vraiment à ce que tu exprimes ensuite. Enfin bref, le résultat est là.

On sait que la fonction exp est positive sur R donc exp-²x>0 le signe de f(x) est donc donné par -2x²+8x+3 or d'apres le tableau qu'on obtient en calculant delta, x1 et x2 f(x) est croissant de ]-0.34;4.34[ et décroit sur ]4.34;+00[
Ok, mais dvlp davantage en contrôle !
5) D'apres l'etude du signe précédemment déduis on obtiens ceci:

x -00 -0.34 4.34 +00
f'(x) - + -
decroit croit decroit
Bien ! Mais n'oublie pas de mettre les valeurs de f pour ses racines ! En général, il ne faut pas les arrondir, donc n'hésite pas à mettre une racine au besoin, c'est ce que je fais moi en tout cas
6)Equation de la tangente en x=0
y= f'(0)(x-0)+f(0)
f'(0)= 3
f(0)= -3
y= 3x-3
Bien !

7) f(x)= (x²-3x-3)e-²x
x²-3x-3=0 le resultat sera a ou e-²x=0 resultat sera b
....

J'utiliserai le théorème des valeurs intermédiaires ( ou bijection ). Tu calcules f(x1) et f(x2) ( comme je te l'avais proposer plus haut , pour prouver que f(x) = 0 admet deux solutions. Je suppose que pour déterminer les valeurs approchés tu peux utiliser la calculatrice.


8) f(x)=0
x²-3x-3=0
x1= 3-rac21/2 x2= 3+rac21/2 ou exp-²x=0

S={3-rac21/2;1;3+2rac21/2}


Bah là je vois pas tellement...Vu qu'on nous a demander de caluler précédemment les valeurs de f(x)=0... Enfin bref, tu peux en déduire facilement le signe avec la question précédente...



Voilà j'espère t'avoir bien aider


@++

[plastik]

Super, Fantométe merci beaucoup de ta correction et surtout merci de ton attention ^^