Limite de fonctions à deux variables

[Cryptocatron-11]

Bonjour,

Soit la fonction . Il faut calculer sa limite quand x et y tendent vers 0.
Je me suis permis de dire que c'est équivalent à et donc à et enfin à quand x et y sont infiniment petit. Je crois que c'est là ou j'ai fais une grosse connerie avec tous ces équivalents...

Après j'ai posé et avec n un entier naturel qui tend vers + infini.

Du coup, devient donc ça tend vers + infini car n est grand.
Etlosque x et y tendent vers 0.

Mais sur mon corrigé c'est faux car la limite est belle et bien zéro. J'ai vu la correction et donc le chemin pour y arriver mais je comprends pas ou mon raisonnement est faux en fait. J'aimerais juste savoir ce qui cloche dans mon truc (j'ai pas besoin d'une méthode pour résoudre ça car j'ai déjà la correction)

Merci

[laya]

Je me suis permis de dire que c'est équivalent à

Il est là le problème, tu t'es permis "the impermissible", pourquoi penses-tu que c'est un équivalent ? Tu passes assez vite sur ce point.

[Cryptocatron-11]

Il est là le problème, tu t'es permis "the impermissible", pourquoi penses-tu que c'est un équivalent ? Tu passes assez vite sur ce point.

J'ai corrigé c'est pas sin x c'est bel et bien sin y ça change pas grand chose à l'impermission mais bon.

Ah oui mais quel niouk ! cos x c'est équivalent à 1 et pas à x.
Mais si j'aurai eu 1 à la place j'aurai eu le droit non?

[Skullkid]

Salut, pour commencer je ne suis pas sûr que ton cours parle d'équivalents de fonctions définies sur autre chose que des parties de , ce qui suffit pour rendre le terrain glissant.

Ensuite, si j'ai bien suivi, ton raisonnement c'est quelque chose du genre xsiny est équivalent à sin(x)sin(y) et -ysinx est équivalent -sin(y)sin(x) donc la somme xsiny - ysinx est équivalente à sin(x)sin(y) - sin(y)sin(x) c'est-à-dire à 0. Donc tu as ajouté des équivalents, ce qui est déjà formellement interdit à une seule variable. Rappel utile : les seules fonctions équivalentes à 0 en un point sont les fonctions qui sont constamment nulles au voisinage de ce point, autrement dit, en pratique, si tu es amené à écrire qu'un truc est équivalent à 0, tu as très probablement faux.

Ensuite, dans ton premier post, tu cherches à calculer la limite quand (x,y) tend vers (0,0) de (x-y)/(x²+y²), et tu la calcules en posant x = 1/(2n) et y = 1/n. En faisant ça, tu présupposes que x et y ont un comportement particulier, ça ne te permet absolument pas d'en déduire la limite que tu veux. Si tu avais pris x = y = 1/n tu aurais obtenu 0 et pas l'infini, ce qui prouve que la limite que tu cherches à calculer n'existe pas.

Dire que (x,y) tend vers (0,0) c'est pas forcément évident à comprendre, parce qu'il y a énormément de façons de tendre vers (0,0) : on peut arriver vers (0,0) en venant d'une certaine direction, on peut spiraler autour... Si lim f(x,y) existe quand (x,y) tend vers (0,0) ça implique que quel que soit la façon de tendre vers (0,0), on aura la même limite.

[Doraki]

- x n'est pas équivalent à cos(x) en 0.

- on a pas le droit d'ajouter deux équivalents: par exemple 1 est équivalent à 1, -1+1/n est équivalent à -1, mais leur somme, 1/n , n'est pas équivalente à 0.

[Cryptocatron-11]

Ensuite, dans ton premier post, tu cherches à calculer la limite quand (x,y) tend vers (0,0) de (x-y)/(x²+y²), et tu la calcules en posant x = 1/(2n) et y = 1/n. En faisant ça, tu présupposes que x et y ont un comportement particulier, ça ne te permet absolument pas d'en déduire la limite que tu veux. Si tu avais pris x = y = 1/n tu aurais obtenu 0 et pas l'infini, ce qui prouve que la limite que tu cherches à calculer n'existe pas.

En fait si j'ai fais ça c'est parce que f(x,y)=0 lorsque (x,y)=(0,0). Le but de l'exo c'était de regarder si la fonction était continue ou pas en (0,0). Donc je me suis pas trop cassé la tête j'ai cherché une suite un=(1/n,1/2n) tel que la limite de f(un) soit différente de f(0,0)=0. Et don en réussissant à en trouver une je peux conclure. Enfin il me semble non ?

[Skullkid]

Ah dans ce cas oui, mais c'est pas du tout ce que tu as dit dans tes précédents posts... Oui, prendre des suites particulières sert en général à montrer que la limite n'existe pas.

[Cryptocatron-11]

Cependant l'inverse ne marche pas.

Je m'explique: j'aurais très bien pu tomber sur une suite pour laquelle ça tend bien vers 0 . Mais là on peut pas conclure sur le fait que la fonction soit continue si ? Car f(un)=0 OK mais je peux très bien avoir f(wn)=+infini par exemple.

Donc je crois que c'est là ou on a besoin d'un cas général.

[Skullkid]

Oui, voilà. Pour calculer la limite lorsqu'elle existe, on ne peut pas passer par des valeurs particulières de x et de y. Une méthode courante, qui j'imagine est celle de ta correction, est de faire un encadrement. Typiquement ici on peut montrer que , ce qui permet de conclure.

[mathelot]

autre méthode , en polaire



d'où une limite nulle selon le rayon r et c'est cela qui compte...