Exercice complexe

[Glup]

Bonjour,
Je n'arrive pas à faire un exercice dans lequel il faut résoudre des équations avec des complexes.
Pouvez vous m'aider s'il vous plaît ?

On considère l'équation (E) z²=-9-40i
1)a. On pose z=a+ib , montrer que z est solution de (E) si et seulement si on a : a²-b²=-9 et ab=-20 et si a²+b²=41 (on admet la dernière égalité)

b. En déduire les solutions de (E)

2) Résoudre dans , l'équation z^4+18z²+1681=0

Merci.

[low geek]

bonjour =)

z²= (a+ib)²= a²+2iab -b²

1)a) Tu remplace et par identification tu as a²-b²=-9 et ab= -20 car 2 complexes sont égaux si et seulement si partie réelles et imaginaires sont égales

pour trouver la 3éme:
tu calcul tu as z²= -9-40i
donc |z²|=|-9-40i|
tu applique la formule pour trouvé un module et tu devrait tobmé sur a²+b²= 41

1)b) il suffit de résource le systéme
a²-b²=-9
a²+b²=41
ab=-20
Grace aux 2 premières tu trouvera:

b= 5 ou b=-5
et a=4 ou a=-4
ensuite pour savoir quelles couples sont "valable" il faut aussi que ab=-20, a toi de toruver les bons couples;)

2)
tu pose Z=z²
ca te donne Z²+18Z+1681=0

tu fait b²-4ac
ca donne -6400 il me semble or -6400=6400i²
donc racine de delta = 80i
donc il y a 2 solutions "complexes":
Z1= (-18+80i)/2= -9+40i
Z2=(-18-80i)/2= -9-40i

Or Z=z²
donc -9+40i=z²
-9-40i= z²
Tu retrouve la question 1 et tu l'utilise pour terminer le problème;)

[Glup]

merci !!

Donc pour la dernière question, soit z=4-5i ou z=-4+5i ?

[low geek]

pour -9-40 i=z² oui!
après il te reste -4+40i=z²
En théorie tu est sensé refaire toute la réflexion du 1 a nouveau, mais c'est plus simple que ca je t'explique pourquoi:

|-9-40i|=|-9+40i| donc tu retrouvera a²+b²=41
ensuite tu aura
-9+40i= a²-b²+2abi
a²-b² ca changera pas quoi que tu change
le systéme aura juste une modif: ab=20

tu aura donc
a²+b²=41
a²-b²=-9
ab=20

Tu as résolut le systéme a²+b²=41 et a²-b²=-9 au dessus
tu as donc le choix a nouveau entre 4 complexes (-4+5i),(-4-5i),(4+5i),(4-5i)
tu récupéré donc les deux solutions "perdu" précédemment

Je ne connais pas ton prof donc tout dépend de comment il est pour réécrire cette explication (soit tu met ca, soit tu dit "or si l'on refait la partie 1 pour z²=-9+40i on "récupérera" les 2 solutions qu'on a éliminé a cause du ab=20 que l'on trouvera")
Voila :) donc es solutions sont les 4 solutions trouvé;)