Pourquoi cette matrice est-elle inversible

[carpediem69]

[CENTER][FONT=Comic Sans MS]Bonsoir, je lisais une correction d'exercice et il est écrit que pour une matrice A carrée quelconque et pour p assez grand, la matrice est inversible. Je n'ai pas encore fait la réduction des matrices mais j'ai abordé ça une fois en colle de maths en sup et je me suis dis que ceci n'est vrai que si 1/p n'appartient pas au spectre de A. Dans le cas contraire, et la matrice n'est pas inversible.

Merci d'avance pour vos réponses. Bonne soirée à vous.[/FONT][/CENTER]

[Near33]

Salut.

Considère la fonction P : x -> Det(A + x.Id)

P est un polynôme en x de degré n. Tacitement n >= 1.
Si A est inversible, alors P(0) <> 0 et par continuité de P, il existe un rang p tel que.......
Si A n'est pas inversible, supposons par l'absurde qu'il n'existe pas de rang p tel que ............
Alors il existe une suite (xn)n€N de réels tendant vers 0, tels que P(xn) = 0 pour tout n. P possède alors une infinité de racines distinctes, P est donc nul, ce qui n'est pas possible.

[carpediem69]

Merci pour ta réponse. Bonne soirée.