Il était une fois le chiffre 1

par **theluckyluke** » 01 Mai 2006, 18:06

Bonjour, petite énigme simple pour la route, juste pour savoir si il a une manière simple de trouver la réponse... :hein:

si on écrit tous les nombres de 0 à 2006, combien de fois a-t-on écrit le chiffre 1?

Je vous souhaite pas bonne chance, c'est trop facile! :++:

par **thebaby** » 01 Mai 2006, 18:20

bah 2007 !

par **Mikou** » 01 Mai 2006, 21:06

t'es sur ??? ca me serait une coïncidence bizarre

par **olivthill** » 01 Mai 2006, 22:06

Les années s'écrivent avec quatre chiffres au maximum.

- Le chiffre "1" en première position, apparait dans les années 1000, 1001, ..., 1999 = 1000 fois

- Le chiffre "1" en deuxième position, apparait dans 100 ... 199, 1100...1199 = 200 fois

- Le chiffre "1" en troisième position, apparait dans 10 ... 19, 110...119, 210...219, 310...319, 410...419, 510...519, 610...619, 710...719, 810...819, 910...919, 1010 ... = 200 fois

- Le chiffre "1" en quatrième position, apparait dans 1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91, 101 ... ... 2001 = 10x20 + 1 = 201

Donc, au total, le chiffre "1" apparait 1000+200+200+201=1601 fois.

Mais peut-être qu'il y a un piège et que les nombres pourraient ne pas être des entiers naturels, ou bien ne pas être écrit en base 10.

par **Quidam** » 02 Mai 2006, 08:46

Entre 0 et

les 10 chiffres apparaissent autant les uns que les autres si on écrit les nombres avec n chiffres.
Donc pour écrire les nombres de 000 à 999, il faut 3000 chiffres et donc 300 fois le chiffre 1. 1 n'apparaît pas dans 000 donc de 1 à 999, c'est pareil !
De 1000 à 1999 : 3000/10+1000=1300
De 2000 à 2006 : 1
Total : 300+1300+1=1601
Donc, d'accord avec olivthill !

par **theluckyluke** » 02 Mai 2006, 16:31

ouais bien joué c'est ça! 1601
Mais maintenant je voulais savoir si il existait une formule pour trouver direct...(je ne sais pas si il en existe une, c'est juste pour savoir)

par exemple il existe une formule pour faire très vite 1+2+3+4+...+2006
En existe-il une pour calculer directement le nombre de 1 entre 0 et 2006?
(entre 0 et 2000, on en a donc 1600 et ce nombre est quand même remarquable... ce n'est pas 1612 ou 1598, non 1600 pile...)

Je vais aussi essayer d'en trouver une...

par **Mikou** » 02 Mai 2006, 17:50

1600 pile? ca na aucun sens 327855 ets tt autant remarquable ...

par **Quidam** » 02 Mai 2006, 19:47

Mikou a écrit:1600 pile? ca na aucun sens 327855 ets tt autant remarquable ...

Ben, je ne suis pas tout-à-fait d'accord ! Il se trouve que nous analysons le nombre de chiffres 1 en base 10 entre 1 et 2*10^3. Ce n'est quand même pas tout-à-fait innocent, et moi, je ne suis pas du tout étonné d'une telle "coincidence".

De fait, comme je l'ai dit plus haut, entre 0 et

les b chiffres apparaissent autant les uns que les autres si on écrit les nombres avec n chiffres. Il faut

chiffres pour écrire

nombres de n chiffres, c'est-à-dire que l'on écrit

fois chaque chiffre. C'est donc normal que le nombre de fois que l'on utilise le chiffre 1 pour écrire les nombres de 0 à 999 soit exactement 300 soit pile poil 3 avec deux zéros derrière...327855 aurait été un nombre tout ce qu'il y a de plus quelconque, alors que 1600 est effectivement une coincidence troublante, tellement troublante qu'elle est la conséquence directe des calculs ci-dessus, donc pas du tout une coincidence fortuite !

par **theluckyluke** » 04 Mai 2006, 20:02

ok cool, merci tout le monde!

par **elladan** » 13 Mai 2006, 11:56

Une question exactement dans la même veine est de savoir à quelle puissance est p dans la décomposition en facteurs premiers de n!
Par exemple, quelle est la puissance de 2 dans la décomposition en facteurs premiers de 100! ?

par **mathador** » 14 Mai 2006, 12:42

Salut,
la réponse est : valuation 2-adique de 100!.

...

...

Désolé.

Une remarque quand même : si on note vad la fonction "valuation 2-adique" , on a clairement:
vad( n! ) = somme des vad(k) pour k allant de 2 à n .

On peut se contenter de sommer sur les k pairs. Ca nous donne déjà un minorant de vad(n!) : le nombre d'entiers pairs entre 1 et n (puisque leur vad est > ou = à 1).. Bon, ça, c'est pas un exploit ... de même, on peut majorer chaque vad(k) pour k inférieur à n par la vad de la plus grande puissance de 2 inférieure à n, disons D, et donc majorer leur somme par (n-1)D : là encore, c'est plutôt large comme majoration. Mais bon, on a déjà une double inégalité ! Et elle doit être assez facilement optimisable, je pense.

Et puis, au fond, qui a besoin de savoir l'exposant de 2 dans la décomposition de 100! ?

par **Quidam** » 14 Mai 2006, 14:58

mathador a écrit:Et puis, au fond, qui a besoin de savoir l'exposant de 2 dans la décomposition de 100! ?

Ha ha ! Tu as raison : ça c'est ma botte secrète quand je ne trouve pas la solution d'un problème !!!!
Cela dit, ce problème est bien classique, je laisse chercher les candidats...

par **theluckyluke** » 14 Mai 2006, 15:16

Salut tout le monde
Juste un truc...c'est juste possible de reformuler le problème que vous cherchez (je comprend pas trop). Merci

par **Quidam** » 15 Mai 2006, 00:21

theluckyluke a écrit:Salut tout le monde
Juste un truc...c'est juste possible de reformuler le problème que vous cherchez (je comprend pas trop). Merci

On écrit :

avec L impair. Trouver K !

Il était une fois le chiffre 1

Il était une fois le chiffre 1

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