Une inégalité trigonométrie

par **Clembou** » 28 Oct 2011, 21:37

Bonsoir à tous,

Voici un petit défi qui j'espère vous amusera.

Montrer que, pour tout

Bon courage à tous !

par **Zweig** » 28 Oct 2011, 22:14

Salut,

Par symétries, on peut se contenter de l'intervalle

On pose

et

. Alors

et

.

On peut alors déterminer le variations, donc le signe de

.

par **LeJeu** » 28 Oct 2011, 22:28

je tenterais plutot la piste en 0 et PI /2

cos²(x) <= tan(cos(x)) <= tan(cos( sin( x))) ?

par **Clembou** » 28 Oct 2011, 22:53

LeJeu a écrit:je tenterais plutot la piste en 0 et PI /2

cos²(x) <= tan(cos(x)) <= tan(cos( sin( x))) ?

Explicite moi le passage

(je suis convaincu sur un graphique mais...) Et puis il faut aussi préciser que ton inégalité est vraie aussi pour

par **LeJeu** » 28 Oct 2011, 23:06

Sauf erreur on est maintenant sur :

entre 0 et PI /2

tg ( x) > x ² ?

[EDIT] >= bien sûr

par **Clembou** » 29 Oct 2011, 10:37

D'accord mais encore faut-il le prouver ;)

par **Zweig** » 29 Oct 2011, 14:49

Via une étude de fonction ?

On pose

. Alors

, donc

est croissante sur

, donc en particulier sur [0, pi/2[. Et l'image de cet intervalle par

(qui est une fonction continue sur cet intervalle) vaut [0, +\infty[, cqfd.

par **LeJeu** » 29 Oct 2011, 16:32

Clembou a écrit:D'accord mais encore faut-il le prouver

Tu chipotes ... je dirais que par rapport à le ( pseudo) complexité du départ on est arrivé au bout ?

A ce stade on est presque autorisé à tracer les deux fcts ?

(ou pour le moins à tracer les deux dérivées : ( 1/cos(x)^2 et 2x))

NON ?

en tous cas l'embrouille du départ semble maitrisée? ( tan(cos(sin)))

Une inégalité trigonométrie

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