Nombres complexes

par **Jo.video2brain** » 26 Oct 2011, 18:10

Bonjour,

Je n'ai pas compris un exercice:
Soit x un nombre réel et z le nombre complexe suivant: z = ( 1+6ix) / (1-2ix)
M est l'image de z dans le plan complexe.

1) Calculer |z+1| en fonction de x.
2) Quel est l'ensemble des points M d'affixe z tels que |1+z|=2 lorsque x décrit R.

1) En calculant, je tombe sur (8x²+8ix+2) / (1+4x²).
Mais je ne vois pas l'intérêt ici cela me ramène à une très grosse racine pour le module de z.

2) L'ensemble des points M est sans doute un cercle de centre O(-1;0) et de rayon 2 ?

par **Maxwell-** » 26 Oct 2011, 18:16

Bonjour, je ne vois pas comment tu peux trouver ce résultat. De plus la question 2 devraient te mettre la puce à l'oreille.

par **Jo.video2brain** » 26 Oct 2011, 18:24

J'ai trouver ce résultat en ajoutant 1 à la quantité z.
z+1 = (1+6ix) / (1-2ix) + 1
z+1 = [(1+6ix) + (1-2ix)] / (1-2ix)
z+1 = (2+4ix) / (1-2ix)
Puis en multipliant par le conjugué:
z+1 = [(2+4ix)(x+2ix)] / (1²+(-2x)²)
z+1 = (2x+4ix+4ix²-8x²) / (4x²+1)
z+1 = [(-8x²+2x)+i(4x+4x²)] / (4x²+1)
Sauf erreur de calcul.

par **Maxwell-** » 26 Oct 2011, 18:27

Pourquoi ne pas avoir gardé :

pour calculer le module ?

par **Jo.video2brain** » 26 Oct 2011, 18:29

Non je ne vois pas ...

par **Jo.video2brain** » 26 Oct 2011, 18:33

|z+1| = |(2+4ix) / (1-2ix)|
|z+1| = |(2+4ix)| / |(1-2ix)|
|z+1| = sqrt(4+16x²) / sqrt(1+4x²) ?

par **Maxwell-** » 26 Oct 2011, 18:33

Prenons un exemple,

3 complexes, on suppose

et

non nuls pour notre exemple.
Disons maintenant que

, dans ce cas

par **Jo.video2brain** » 26 Oct 2011, 19:04

Je ne vois pas après.

par **Maxwell-** » 26 Oct 2011, 19:18

En appliquant ce que nous venons de dire.
Quel résultat trouves-tu?

par **Jo.video2brain** » 26 Oct 2011, 19:22

Exactement la même chose. (plus haut)

par **Jo.video2brain** » 27 Oct 2011, 12:08

|z+1| = |(2+4ix) / (1-2ix)|
|z+1| = |(2+4ix)| / |(1-2ix)|
|z+1| = sqrt(4+16x²) / sqrt(1+4x²) ?
Mes calculs sont corrects ??

par **Jo.video2brain** » 27 Oct 2011, 23:53

Je suis toujours bloqué :mur: .

par **Maxwell-** » 27 Oct 2011, 23:57

, tu ne crois pas?

par **Jo.video2brain** » 27 Oct 2011, 23:58

Ok merci :) = 2x1 = 2 ;)
Je ne vois pas le lien avec la 2éme question vu que l'on peut très bien y répondre sans la 1).

par **Maxwell-** » 28 Oct 2011, 00:01

Dans la 1 tu ne réponds pas explicitement à la 2. C'est pour ça, c'est plus pour utiliser ton résultat je pense.

par **Jo.video2brain** » 28 Oct 2011, 00:03

La réponse à la question 2 est bonne ?

par **Maxwell-** » 28 Oct 2011, 00:05

Si tu trouves une explication de pourquoi tu as choisis O(-1,0)
C'est ok. :)

par **Jo.video2brain** » 28 Oct 2011, 00:08

Soit M l'image de z et O(-1) alors |z+1|=|z-z(O)|= OM ?

par **Skullkid** » 28 Oct 2011, 00:15

Salut, attention au piège pour la question 2.

La question 2 te demande quel est l'ensemble des points d'affixe z quand x décrit R. Grâce à la question 1, tu as montré que cet ensemble est inclus dans le cercle de rayon 1 et de centre (-1,0) (tous les points z sont tels que |z+1| = 2, c'est-à-dire qu'ils sont sur le cercle), mais tu n'as pas prouvé qu'il était égal à ce cercle.

Edit : de rayon 2 ! Bien sûr, pas de rayon 1...

par **Jo.video2brain** » 28 Oct 2011, 00:24

Oui merci perturbé par R² dans le plan cartésien.

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