Norme sur R^d

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Cryptocatron-11
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Norme sur R^d

par Cryptocatron-11 » 23 Oct 2011, 13:37

Bonjour,

Voilà mon exo à démontrer

Soit , il faut montrer que

Tout d'abord, j'ai supposé que y>x , donc ça revient à montrer .

Pour montrer , j'ai majoré par y ce qui donne

Pour montrer que , j'ai montré que x était forcément positif car et et comme x est égal à une norme alors c'est un réél positif d'où

J'ai pas encore démontré la dernière inégalité mais est ce que jusque là ça va ?



Mortelune
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par Mortelune » 23 Oct 2011, 13:58

Bonjour.

En supposant |x|<|y|, il n'y aura pas de perte de généralité donc ça va bien marcher. La valeur absolue permettre de tout faire bien marcher. Sinon il faut considérer x et y positif, ce qui pour le coup ne considère plus qu'un quart du plan (d'ailleurs ).

Après dans l'idée, aux valeurs absolues près (une norme sur R), ça va.

laya
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par laya » 23 Oct 2011, 13:59

Cryptocatron-11 a écrit:Bonjour,

Voilà mon exo à démontrer

Tout d'abord, j'ai supposé que y>x , donc ça revient à montrer .



Bonjour,

Tu n'as pas juste pris , tu les as aussi pris tous deux positifs. En effet, la norme 1 est et la norme infinie est .

Bon, ce n'est pas la peine de faire une disjonction de cas (ça risque d'être long). Voici quelques indications :
1- , idem pour
2- la norme infinie est trivialement majorée par la norme 1, il ne faut pas faire plus d'une ligne pour le montrer.
3- Pour la dernière inégalité, élève tout au carré et mets tous les termes d'un seul côté, tu tomberas sur une identité remarquable et le signe s'en suivra.

Cryptocatron-11
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par Cryptocatron-11 » 27 Oct 2011, 19:12

Pour montrer la dernière egalité, j'y suis allé par l'absurde
Supposons que et montrons que c'est absurde.

Si alors on aurait aussi









D'où qui est absurde !

C'est correcte ?

laya
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par laya » 27 Oct 2011, 19:17

Cryptocatron-11 a écrit:
D'où qui est absurde !

C'est correcte ?


A 90% correct, car ce n'est pas toujours absurde. Il y a même une infinité de couple (x,y) pour lesquels ce n'est pas absurde.

Plus clairement, il fallait partir dès le départ avec une inégalité stricte (la négation de est ).

Bonne soirée.

Skullkid
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par Skullkid » 27 Oct 2011, 19:20

Tes calculs sont corrects mais ton raisonnement ne l'est pas.

La négation de a <= b ce n'est pas a >= b, c'est a > b. De même, (a-b)² <= 0 n'est pas absurde, c'est tout à fait possible si a = b.

En remplaçant toutes tes inégalités larges par des inégalités strictes, ta démo est valide. Mais en fait, tu n'as pas besoin de raisonner par l'absurde, puisque tu as tracé toi-même le chemin d'une démonstration directe :

(|x|-|y|)² est positif, donc...

Cryptocatron-11
Membre Rationnel
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par Cryptocatron-11 » 27 Oct 2011, 19:26

OK merci pour vos réponses
Skullkid a écrit:Mais en fait, tu n'as pas besoin de raisonner par l'absurde, puisque tu as tracé toi-même le chemin d'une démonstration directe :

(|x|-|y|)² est positif, donc...

Ah donc j'aurai aussi pu partir directement de

Skullkid
Habitué(e)
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par Skullkid » 27 Oct 2011, 20:06

Cryptocatron-11 a écrit:OK merci pour vos réponses

Ah donc j'aurai aussi pu partir directement de


Oui, à condition de procéder par équivalences. Mais esthétiquement parlant, c'est mieux d'arriver à la conclusion plutôt que d'en partir (logiquement parlant ça n'a aucune importance).

 

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