Exercice Probabilité statistique à resoudre

[jaques]

Test triangulaire

On veut savoir si les produits A et B sont perçus comme identiques par les consommateurs,ou si au moins une partie les distinguent.
Pour cela ,on propose à 30 dégustateurs pris au hasard de gouter trois produits parmi lesquels A(ou B) figure deux fois et l'autre produit une fois et de désigner celui qui leur parait différent des deux autres.

1°) On suppose que A et B sont indiscernables.
Déterminer en fonction de k (K=0,1,....,30)la probabilité qu'au moins k dégustateurs désignent par chance le bon produit.
On souhaite limiter à 5% le risque de conclure à tort que les deux produits ne sont pas indiscernables.
A partir de quelle valeur de k pourra-t-on donner cette conclusion?

2°)On suppose que,dans la population générale,25% des consommateurs distinguent effectivement les deux produits.
Monter que la probabilité qu'un dégustateur pris au hasard désigne le bon produit est égale à 0,5 "proba de succés" (il peut etre compétent ou chanceux).
Quelle est alors la probabilité de détecter que les produits ne sont pas indiscernables ?

Quel moyen voyez vous pour augmenter cette probabilité tout en limitant à 5% "alpha " le risque de conclure à tort que les deux produits ne sont pas indiscernables ?

[fesssstif]

Le problème en soi n'est pas très compliquer, mais il manque une donnée,
que désignes-tu par "détecter que les produits ne sont pas indiscernables",
il faudrait pouvoir chiffrer ce cas afin de résoudre le problème.
(par exemple, on conclut que les produits ne sont pas indiscernables si plus de x% des dégustateurs trouve le bon produit)

on peut quand même répondre à certaines interrogations,
1 : la probabilité qu'aucun des 30 testeur ne trouve est de (2/3)^30
cad la probabilité que le premier ne trouve pas (2 chances sur 3), puis que le second ne trouve pas et ainsi de suite pour les 30,
la probabilité que le premier trouve et pas les suivant est de 1/3 * (2/3)^29,
mais on veut la probabilité que 1 trouve, cad la probabilité que seul le premier trouve plus la probabilité
que seul le deuxième trouve etc.
la solutions est donc : choix de 1 parmi 30 * 1/3 * (2/3)^29
de même la probabilité que k trouvent est de : choix de k parmi 30 * (1/3)^k * (2/3)^(30-k)

de la on fait une application numérique et on regarde la probabilité que plus de alpha% des testeurs trouvent le bon produit.

question 2: on peut faire un arbre comme suit :
niveau 1: 25% de reconnaitre, 75% de choisir au hasard
niveau 2: si le testeur peut reconnaitre, il a 100% de chance de trouver le bon et 0% de chance de se tromper, sinon si il fait parti de ceux qui choisisses au hasard, il a 1 chance sur 3 de trouver et 2 chance sur 3 de se tromper,
ce qui donne si on somme les proba : 1/4 * 1 + 1/4 * 0 + 3/4 * 1/3 + 3/4 * 2/3 = 1
1/4 * 1 + 3/4 * 1/3 = 1/2 = probabilité de trouver (le résultat attendu)

[jaques]

Bonjour fesssstif,

Merci beaucoup pour ton aide , je vais decanter ta reponse à tete reposé.
A+