Un peu de probabilités

[myloff]

Bonsoir,

Je coince sur un sujet. Je ne sais pas trop si c'est de niveau lycée ou supérieur donc je poste ici.

Enoncé du sujet : soit une urne contenant 100 boules rouges ou noires. On ne connait pas le nombre de boules rouges et le nombre de boules noires. On tire simultanément 20 boules dans l'urne. L'évènement E obtenue est : 20 boules rouges ont été tirées.

Question 1 : quelle est la probabilité que l'évènement E se réalise s'il y a 10 boules noires dans l'urne?

Réponse 1 : ok pour celle-ci, la loi de probabilité de mon modéle est la loi hypergéométrique.


Question 2 : quelle est la probabilité d'avoir dans l'urne au moins 10 boules noires sachant que E a été réalisé ?

Réponse 2 : là j'ai un peu de mal...


Merci pour vos idées !

[Doraki]

La question 2 n'a pas de sens parcequ'on ne nous dit pas quelle est la loi du nombre N de boules noires dans l'urne.

[myloff]

Donc il manque une information... Le problème est que je n'ai pas cette information.

Pour aborder le problème autrement, la question pourrait-être :

J'ai en ma possession 100 boules dont je ne connais pas ni la couleur (rouge ou noire), ni la loi de proba associée. Est-il possible de pouvoir établir un nombre max n de boules noires dans les 100 boules (avec un taux de confiance associée = critère d'acceptation de l'obtention d'une probabilté jugée faible à partir de n+1) sachant qu'un tirage simultané de 20 boules a été effectué et que les 20 boules tirées sont rouges ?

Merci d'avance pour vos réponses.

[Doraki]

Ben franchement, je sais pas ce qu'ils peuvent bien attendre.
Tu peux calculer séparément les P(E sachant que N=n) pour tout n, ce qui reste pertinent.
Mais sans la loi de N après tu ne peux pas poursuivre.
Si t'as envie tu peux faire le calcul avec une certaine loi pour N (loi uniforme par exemple) et tu pries pour que ce soit ce à quoi pensait celui qui a posé la question.

Ou sinon c'est comme t'as dit et tu dis "oh bah on observe qu' à partir de tant de boules noires, les probabilités passent sous la barre arbitraire de tant". Mais bon :\

[myloff]

Oui c'est exactement le raisonnement que j'avais en tête... Prendre le sujet à l'envers d'où ma question 1 (qui n'était pas en fait posée dans l'énoncé, je me la suis créé). J'ai répété 101 fois la question 1 pour N allant de 0 à 100 et je me donne un critère d'acceptabilité sur P(E).

En fait, je n'ai pas de sujet d'exercice bien précis. Je suis ingénieur et les cours de probas commencent à dater... Voyant que je n'arrivais pas à répondre à la question 2, j'avais peur d'avoir oublié un concept probabiliste.

En tout cas merci pour tes réponses Doraki. ;-)

[myloff]

Re bonjour !

Et dans l'hypothèse où N suit une loi uniforme, comment arrive-t-on au résultat ?

P(N=n sachant E) = P(N=n) * P(E sachant N=n) / P(E)

P(N=n) = 1/100 et P(E sachant que N=n) = réponse à la question 1 généralisée à tout n.

Mais que vaut P(E) ? Est-ce la bonne piste ?

Merci pour vos réponses :)

[myloff]

Erreur : P(N=n) = 1/101

[Doraki]

Si la loi de N est donné par 101 nombres positifs p0,p1,p2...p100 dont la somme vaut 1, et si tu appelles q0,q1,q2...q100 les 101 probabilités P(E | N=n),
alors P(E et N=n) = pn*qn, et donc P(E) = somme des pn*qn. Et donc P(N=n sachant E) = pn*qn / somme des pi*qi

Finalement, observer E transforme la loi de N a priori (p0 .... p100) en la loi de N a posteriori (p'0... p'100) où p'n = pn*qn / somme des pi*qi.

[myloff]

Merci pour ta réponse, c'est très clair. Mais la conclusion est un peu perturbante au final. Cela revient à supposer dans un premier temps la loi de N et à ensuite venir corriger cette estimation en observant E.
Mais si je suppose une autre loi de N initiale indépendante de tout évènement et que je corrige aussi cette nouvelle estimation en observant E, cette loi à posteriori de N sera différente de la première loi de N trouvée avec l'autre hypothèse, pourtant E est toujours le même... C'est un peu flou pour moi.


J'ai aussi un autre problème que j'ai dû mal à résoudre !! Imaginons q'un garde surveille n salles de production et que sur une journée la probabilté qu'il n'y ait aucune alarme qui sonne est de x %. Quelle est alors la probabilité qu'il n'y ait aucune alarme qui sonne sur une journée si le garde décide de surveiller mnt seulement p salles (pRermarque : la probabilté d'enclenchement d'une alarme est indépendante de la salle (équiprobabilité).

Merci pour le petit coup de main !

[Doraki]

Merci pour ta réponse, c'est très clair. Mais la conclusion est un peu perturbante au final. Cela revient à supposer dans un premier temps la loi de N et à ensuite venir corriger cette estimation en observant E.
Mais si je suppose une autre loi de N initiale indépendante de tout évènement et que je corrige aussi cette nouvelle estimation en observant E, cette loi à posteriori de N sera différente de la première loi de N trouvée avec l'autre hypothèse, pourtant E est toujours le même... C'est un peu flou pour moi.

Tout à fait. Mathématiquement, le seul moyen d'interpréter "on ne connait pas la loi de N mais on a observé tout ceci jusqu'à présent", c'est pour chaque n, la probabilité que E arrive sachant N=n ; ce qui est équivalent à l'opération de transformation de la loi a priori à la loi posteriori si on a une raison de connaitre la loi au début. Tu peux aussi parler du n "le plus probable" (celui qui donne la probabilité la plus grande). Ici, c'est bêtement n=0 je crois donc c'est pas super intéressant.

J'ai aussi un autre problème que j'ai dû mal à résoudre !! Imaginons q'un garde surveille n salles de production et que sur une journée la probabilté qu'il n'y ait aucune alarme qui sonne est de x %. Quelle est alors la probabilité qu'il n'y ait aucune alarme qui sonne sur une journée si le garde décide de surveiller mnt seulement p salles (p<n).
Rermarque : la probabilté d'enclenchement d'une alarme est indépendante de la salle (équiprobabilité).
Merci pour le petit coup de main !

Ah ben là c'est mathématique.
Tu as n événements élémentaires qui sont "une alarme sonne à cause de la salle n° i", qui sont indépendants de même loi binomiale (ou bien elle sonne pas (proba q) ; ou bien elle sonne (proba 1-q)).
Et là tu peux calculer en fonction de n et de q, les probabilités qu'une alarme sonne en surveillant n salles, et répondre à ta question.

[myloff]

ce qui est équivalent à l'opération de transformation de la loi a priori à la loi posteriori si on a une raison de connaitre la loi au début.

Donc est-ce que ca veut dire que plus notre première hypothèse sur la loi de N est fausse (pas représentative de la réalité), plus l'opération de transformation par l'évènement E comporte de fortes dispersions et que la loi de N à posteriori comporte encore des écarts par rapport à la réalité.
Pour converger vers la loi de N réelle, doit-on itérer sur l'hypothèse de loi initiale jusqu'à ce que l'opération de transformation par l'évènement E soit l'identité càd P(N=n) = P(N=n sachant E) ?


Ok merci pour le 2ème problème, j'ai compris...
Pour application numérique, j'ai pris n = 100 salles et x = 5%
Si p = 10 salles, alors la proba devient : 74% (=(0,05^(1/100))^10)
J'espère que c'est ça !

[myloff]

Donc est-ce que ca veut dire que plus notre première hypothèse sur la loi de N est fausse (pas représentative de la réalité), plus l'opération de transformation par l'évènement E comporte de fortes dispersions et que la loi de N à posteriori comporte encore des écarts par rapport à la réalité.
Pour converger vers la loi de N réelle, doit-on itérer sur l'hypothèse de loi initiale jusqu'à ce que l'opération de transformation par l'évènement E soit l'identité càd P(N=n) = P(N=n sachant E) ?

Si par exemple, j'applique pour hypothèse de départ une loi uniforme sur N mais que je sais que c'est faux, quel taux de confiance doit-on associer à la loi de N à posteriori ??
J'ai essayé de travailler sur le sujet avec mon exemple. Ma loi de N à posteriori est définie par n = 0 le plus probable (logique d'après l'évènement E) puis la probabilté tend vers 0 à mesure que n augmente. Cette loi est probablement biaisée.
Si à la place d'une loi uniforme, je prends une loi de N initiale de même "allure" que la loi définie à posteriori à l'itération n°1, j'obtiendrai après opération de transformation par E une loi de même "allure" avec peut-être un n = 0 plus probable et une concavité différente. Non ? A tester sur un exemple simple...une loi triangulaire peut-être à la place d'une loi uniforme.

Merci d'avance pour tes réponses ! Et déjà un grand merci pour toute l'aide que tu m'as apportée.

[Doraki]

Non vraiment je pense pas que tu puisses déduire mathématiquement quoi que ce soit sur la "loi de N", encore moins avec une seule expérience qui en fait ne dit pas grand chose.

Pour chaque loi a priori choisie arbitrairement, tu peux calculer P(tout ce que j'ai observé jusqu'à présent) et te dire "oh je crois que j'ai eu de la chance" ou "oh je crois que j'ai pas eu de chance", mais comme on a dit, se demander quelle est la loi qui rende ce qu'on a observé le plus probable, ça peut marcher (mais pour ça il faut faire plusieurs expériences parceque là t'en a fait qu'une seule).
Si tu remets les boules que tu as tirées dans la boîte et que tu re-observes l'événement E, ça revient à re-appliquer cette transformation de loi sur ta loi. Si tu commences à voir des boules noires, ça va éliminer le cas N=0.

Si tu veux mesurer expérimentalement la "loi de N", il faut fabriquer plein de boites et pour chacune d'elles, observer toutes les boules pour avoir exactement N. Plus tu fabriques des boites, plus ton graphe de répartition de n va ressembler à la "loi de N".
Si tu fais des observations sur plein de boites différentes, ben là il faut garder chaque P(Ei sachant Ni = n).
Peut-être qu'on peut montrer que si il y a une loi sur N et que tu fais des expériences pas trop bidons, alors quand n tend vers l'infini, la moyenne des P(Ei | Ni = n) tend presque-sûrement vers P(N=n)
(si ton expérience c'est à chaque fois observer 20 boules, je ne sais si ça va etre suffisant ou pas, je ne le pense pas. Si ton expérience c'est regarder toutes les boules, alors oui ça va tendre vers la loi de N)

Si tu sais quelquechose sur la manière dont est fabriquée la boite et que ça te donne des raisons d'utiliser une loi plutôt qu'une autre, utilise-le.
En fait il y a probablement une loi normale qui est acceptable (avec moyenne et écart-type à mesurer)

[myloff]

Ok merci pour tes explications, je vois un peu mieux le concept.

Pour mon cas, je ne peux plus reproduire l'évènement E et j'ai pas d'infos sur ma loi de N. Mais, j'imagine (par pifomètre et procédés mis en oeuvre) que si je réiterais l'évènement E, alors j'obtiendrais le même résultat (pas de boules noires tirées) avec un fort pourcentage de réussite.

Je pense que je vais partir sur cette voie. Calculer tous mes P(E sachant N=n) et fixer un taux de confiance qui me semble majorant (70% par exemple). Donc j'admet un k max de boules noires dans mon urne qui correspondrait à P(E sachant N=k)=0,3.

Ca revient au final à utiliser la loi de "fiabilité démontrée", je sais pas si ça s'appelle comme ça.
F = (1-gamma)^(1/n) avec gamma = taux de confiance associée à l'évènement réussi (cad si je prends un taux de confiance de 70%, je suppose que j'avais seulement 30% de chance pour que ça se réalise) et n = nombre d'essais = nombre de succès (pas de boules noires).

En tout cas merci pour tes réponses Doraki ! Au plaisir :lol3: