Comment étudier cette suite ?

[Dante0]

Bonjour ,

Soit la suite : tel que définie par :
Avec
C'est une suite arithmético géométrique n'est ce pas ?

Comment étudier :
1) Sa monotonie
2) Bornée , majorée , minorée ?
3) Sa limite

Merci !

[Skullkid]

As-tu un cours qui parle des suites de la forme u(n+1) = f(u(n)) ? Tout est dedans ou presque.

[Dante0]

As-tu un cours qui parle des suites de la forme u(n+1) = f(u(n)) ? Tout est dedans ou presque.

Je vois , j'y avais pensé mais je n'en étais pas sur.
Il faudrait poser ?

Toujours ce paramètre qui est la pour me gener :hum:

[Skullkid]

f(x) = Ax+3 serait plus judicieux.

Tu y as pensé, c'est bien, il faut y penser. Mais as-tu essayé ? As-tu fait des dessins de courbes ? As-tu pris quelques A et u0 au hasard et regardé si la suite était monotone ou pas, si elle semblait converger ou pas... ?

[Dante0]

f(x) = Ax+3 serait plus judicieux.

Tu y as pensé, c'est bien, il faut y penser. Mais as-tu essayé ? As-tu fait des dessins de courbes ? As-tu pris quelques A et u0 au hasard et regardé si la suite était monotone ou pas, si elle semblait converger ou pas... ?

Zut , je sais pas lire.
Je fais ca , mais comme je l'ai dit le paramètre le gene , comment je fais pour le prendre en compte ?
Car à priori la dérivée de f est positive. Puisque
Donc elle est croissante , ce qui signifie que tous les termes de la suites sont positifs puisque

Elle est donc monotone.

[Skullkid]

Le paramètre n'a pas à te gêner. C'est un nombre comme un autre, il est fixé.

Oui, f est croissante. Oui u est positive (ça ça pouvait se voir directement : u0 est positif et pour passer au terme suivant on fait des sommes et des produits de termes positifs). Quoi d'autre ? Pour l'instant tu n'as utilisé aucun résultat qui soit vraiment propre aux suites de type u(n+1) = f(u(n)).

[ft73]

f croissante n'implique pas (u_n) croissante.
Si u_0

[Dante0]

f croissante n'implique pas (u_n) croissante.
Si u_0<u_1 alors là oui, mais sinon elle est décroissante.

Ah bon ? Mais j'ai vu ca dans mon cours...

[Skullkid]

Ah bon ? Mais j'ai vu ca dans mon cours...

J'en doute fortement. Exemple : A = 0,5 et u0 = 8. u1 = 4+3 = 7 < u0. Va relire ton cours attentivement.

[Dante0]

J'en doute fortement. Exemple : A = 0,5 et u0 = 8. u1 = 4+3 = 7 < u0. Va relire ton cours attentivement.

Malheureusement , je ne l'ai pas sous la main. Et je ne peux pas me le procurer ... J'avais vu ca dans un livre para scolaires ... Il y'avait quelques petites fautes dedans , mais je pense pas qu'ils fassent une faute aussi grosse... Enfin j'ai du mal lire...

Un petit briefing ? :we:

[Skullkid]

Tu veux dire que depuis tout ce temps tu fais des exercices sans avoir aucun cours sous la main... ?

Soit f une fonction croissante définie sur R. On définit la suite u par récurrence : u(n+1) = f(u(n)), et u0 est un réel quelconque. Essaye de réfléchir au sens de variation de u, selon que u0 < u1, u0 = u1 ou u0 > u1.

[Dante0]

Tu veux dire que depuis tout ce temps tu fais des exercices sans avoir aucun cours sous la main... ?

Soit f une fonction croissante définie sur R. On définit la suite u par récurrence : u(n+1) = f(u(n)), et u0 est un réel quelconque. Essaye de réfléchir au sens de variation de u, selon que u0 u1.

Si si ...
Ben , si u0 u1 est décroissante
si u0 = u1 elle est constante (stationnaire?)

Je vois pas le rapport la en fait , vu que je n'ai pas moyen de calculer les premiers termes , c'est ce qui m'a perturbé quand j'ai lu la question.

[Skullkid]

Ben , si u0 u1 est décroissante
si u0 = u1 elle est constante (stationnaire?)

Tu peux me le prouver ou tu as dit ça au hasard ? Sinon, être constant c'est plus fort qu'être stationnaire. Stationnaire ça veut dire constant à partir d'un certain rang. Si u0 = u1, la suite est-elle juste stationnaire ou est-elle constante ?

Je vois pas le rapport la en fait , vu que je n'ai pas moyen de calculer les premiers termes , c'est ce qui m'a perturbé quand j'ai lu la question.

Pourquoi tu ne pourrais pas calculer les premiers termes ? Tu as u0 et tu as la relation de récurrence, tu peux calculer tous les termes.

[Dante0]

Tu peux me le prouver ou tu as dit ça au hasard ? Sinon, être constant c'est plus fort qu'être stationnaire. Stationnaire ça veut dire constant à partir d'un certain rang. Si u0 = u1, la suite est-elle juste stationnaire ou est-elle constante ?

On ne peut pas savoir si ? Je veux dire elle peut être constante à partir du rend 0 jusqu'au 2 puis commencer à croitre ou décroitre... Elle serait donc stationnaire ? Vu que constant ca implique constant pour tout n si je comprends bien ?

Pourquoi tu ne pourrais pas calculer les premiers termes ? Tu as u0 et tu as la relation de récurrence, tu peux calculer tous les termes.

Justement , je n'ai pas u_0 ! Je sais seulement qu'il est positif ... Ca m'a franchement bien embrouillé !

Sinon , je me rends compte que j'ai oublié une question : il faut exprimer u_n en fonction de n , soit donner le terme général de la suite.

Voila comment j'aurais procédé :




On pose
donc et
Et comme (suite géométrique de raison A)
On a : donc puisque

Comme de plus : alors il vient : soit

Le terme général de est donc

Je trouve ca bien long , et il faut manipuler les égalités dans tous les sens ... Il doit y avoir plus simple non ?

[Skullkid]

On ne peut pas savoir si ? Je veux dire elle peut être constante à partir du rend 0 jusqu'au 2 puis commencer à croitre ou décroitre... Elle serait donc stationnaire ? Vu que constant ca implique constant pour tout n si je comprends bien ?

Constant ça veut dire constant : pour tout n, un = u0. Stationnaire ça veut dire constant à partir d'un certain rang : il existe un entier r tel que pour tout n >= r, un = ur.

Justement , je n'ai pas u_0 ! Je sais seulement qu'il est positif ... Ca m'a franchement bien embrouillé !

Si, tu l'as. Tu n'as pas sa valeur numérique, mais tu l'as. u0 c'est u0 et ça suffit amplement pour cet exercice. Il faut arrêter d'avoir peur des lettres.

Sinon , je me rends compte que j'ai oublié une question : il faut exprimer u_n en fonction de n , soit donner le terme général de la suite.

Voila comment j'aurais procédé :




On pose
donc et
Et comme (suite géométrique de raison A)
On a : donc puisque

Comme de plus : alors il vient : soit

Le terme général de est donc

Je trouve ca bien long , et il faut manipuler les égalités dans tous les sens ... Il doit y avoir plus simple non ?

Cette partie-là est correcte, la seule chose que tu puisses faire pour simplifier c'est virer toutes les redondances inutiles (genre tu écris 3 fois que un = vn + l, je pense qu'une fois suffit).

[Dante0]

Constant ça veut dire constant : pour tout n, un = u0. Stationnaire ça veut dire constant à partir d'un certain rang : il existe un entier r tel que pour tout n >= r, un = ur.

Ok.

Si, tu l'as. Tu n'as pas sa valeur numérique, mais tu l'as. u0 c'est u0 et ça suffit amplement pour cet exercice. Il faut arrêter d'avoir peur des lettres.

u_0 c'est u_0 ?
Je n'ai pas sa valeur numérique , ca veut bien dire que je ne l'ai pas non ? :mur:
Qu'est-ce que je vais faire avec une lettre ? :hum:

[Skullkid]

Avec une lettre on fait une étude générale, on fait des démonstrations, on résout des équations... On fait des maths, quoi. Tu manipules des quantités littérales depuis plus de 7 ans, il serait temps de se rendre compte qu'on peut faire des choses avec... Avec une lettre tu as réussi à trouver l'expression du terme général de ta suite.

C'est juste une histoire de noms. Y a un objet qui s'appelle 2, un autre qui s'appelle 7, et un autre qui s'appelle u0. La seule différence c'est que les noms du genre 2 et 7 sont réservés pour certains objets sur lesquels on a énormément d'informations, ce qui n'est pas toujours le cas pour les lettres.

[Dante0]

Avec une lettre on fait une étude générale, on fait des démonstrations, on résout des équations... On fait des maths, quoi. Tu manipules des quantités littérales depuis plus de 7 ans, il serait temps de se rendre compte qu'on peut faire des choses avec... Avec une lettre tu as réussi à trouver l'expression du terme général de ta suite.

C'est juste une histoire de noms. Y a un objet qui s'appelle 2, un autre qui s'appelle 7, et un autre qui s'appelle u0. La seule différence c'est que les noms du genre 2 et 7 sont réservés pour certains objets sur lesquels on a énormément d'informations, ce qui n'est pas toujours le cas pour les lettres.

Ok.
Donc pour trouver sa montonie :

à ce moment la on doit dire que le signe de est le même que ?
On peut choisir comme cela une valeur de tant qu'elle est positive ?

[Dante0]

Je remonte le topic. :we:

[Dante0]

Encore une fois.