Devoir de spé maths TS

[sg33]

bonjour,
dans un devoir de spé, est posée la question suivante:
on pose a(n)=n(n^2 + 5), n appartient à N. Montrer de deux manières différentes, que 6 divise a(n).
Pourriez vous m'aider, me donner quelques pistes car je ne voie pas comment m'y prendre merci d'avance !

[annick]

Bonjour,
une des méthode consiste à utiliser la congruence.

[sg33]

C'est à dire ?

[annick]

Bon, déjà, as-tu déjà entendu parler de la congruence ou pas ?

[sg33]

Ce n'est pas ce qui est en rapport avec les modulo ?

[annick]

Oui, c'est cela.
Tu vois quels sont les restes possibles de la division de n par 6
Tu en déduis ceux de n², puis ceux de n²+5, puis de n(n²+5) et tu dois trouver ta réponse.

[Jota Be]

Bonjour,
savez-vous au moins ce que sont les congruences et les opérations que l'on peut leur appliquer ?

Vous verrez, en appliquant la méthode de Annick, que pour chaque reste possible de la division de n par 6, il n'y a pas de reste dans la division euclidienne de n(n²+5) par 6.

[sg33]

Non justement je ne vois pas trop en quoi ça consiste et je crois que notre prof nous a dit justement de ne pas l'utiliser car on ne connaissait pas. Cependant, il nous a donné un indice qui semble se rapprocher de la congruence : tout nombre divisible par 6 peut être de la forme 6n+0 ou 6n+1 ou 6n+2 ou 6n+3 ou 6n+4 ou 6n+5 (sachant que 0,1,2,3,4 et 5 sont les restes de la division euclidienne)

[ft73]

Non justement je ne vois pas trop en quoi ça consiste et je crois que notre prof nous a dit justement de ne pas l'utiliser car on ne connaissait pas. Cependant, il nous a donné un indice qui semble se rapprocher de la congruence : tout nombre divisible par 6 peut être de la forme 6n+0 ou 6n+1 ou 6n+2 ou 6n+3 ou 6n+4 ou 6n+5 (sachant que 0,1,2,3,4 et 5 sont les restes de la division euclidienne)

Sans congruences : n(n²+5)=n³+5n=n³-n+6n
et donc n(n²+5) est div par 6 ssi n³-n l'est.
Or n³-n=(n-1)n(n+1) est trivialement divisible par 6...

[annick]

Effectivement, la méthode évoquée par le prof ressemble au congruences sans dire son nom.
Donc, les restes possibles de la division par 6 de n'importe quel nombre n sont 0,1,2,3,4,5
Comme je te le demandais, qu'en est-il de n², de n²+5 et de n(n²+5)

Un exemple : si r pour n est de 3, alors n² aurait un reste de 9 soit 6+3, donc reste pour n²=3,
pour n²+5 le reste sera de 3+5=8=6+2, soit un reste global de 2
pour n(n²+5), le reste sera de 3*2=6, ce qui fait un reste nul dans la division par 6, donc le nombre n(n²+5) est divisible par 6.

Tu peux faire de même avec tous les autres restes et tu conclus.

[sg33]

Désolée, je n'avais plus internet pendant quelques jours.
Merci beaucoup pour votre aide, j'ai tout compris et pu conclure facilement !