Equation complexe

[benekire2]

Bonsoir le forum ! :we:

En Colle l'autre jour je tombe sur un truc vraiment laid :

Trouver tout les tels que

Ma solution fut fort simple : Bourriner ... et on y arrive après une petite heure sur son pauvre quart de tableau ; après que le colleur nous ai fait deux fois l'affront de traiter tous les cas similaire affin de savoir si l'on sait calculer !

Est-ce que quelqu'un connait un argument élégant, une soluce qui soit pas moche ?

Merci

[Zweig]

Salut,

Une piste ?

On recherche tous les triplets de réels vérifiant

Maintenant, remarque que . Ca permet de factoriser les membres de gauche et donc d'avoir finalement le module. L'égalité des modules te permet d'exprimer en fonction de , donc d'avoir tous les complexes solution, sauf erreur.

[Zweig]

Salut,

Je montre que l'ensemble des complexes solution vérifient

Donc l'ensemble des complexes solution seraient les points de qui sont sur la circonférence des cercles de rayon pris dans l'ensemble ci-dessus ?

[busard_des_roseaux]

et les trois autres
qu'est ce que ça donne en polaire: 4 pétales de lemniscate ??

ce sont des cercles finalement (cf. Doraki)

[Doraki]

|z+1/z| = 2 <=> (z+1/z)(z*+1/z*) = 4 <=> zzz*z* + zz -4zz* +z*z* + 1 = 0.
Mais zzz*z* + zz -4zz* +z*z* + 1 = (zz*-1)² + (z-z*)² = ((zz*-1)+i(z-z*))((zz*-1)-i(z-z*))
= (zz* +iz - iz* -1)(zz* -iz + iz* -1) = ((z-i)(z*+i)-2)((z+i)(z*-i)-2) = (|z-i|²-2)(|z+i|²-2), d'où le résultat.

[fatal_error]

salut,

moi je suis bien tenté d'écrire
on cherche les z tels que
, et on trouve (je crois)

du coup
on cherche qui donne pour tout
et on déduit donc

pour tout theta, cqui donnerait que z décrit un cercle de rayon 1 de centre (0,1)?

cela dit, c'est tellement laborieux de vérifier que j'ai pas vérifié.

[benekire2]

Merci pour vos réponses !

Ma preuve ressemble plus a celle de Doraki en un peu plus long, et plus moche ..

Je vais lire tout ca !

[Doraki]

ben il faut utiliser le lemme fondamental de la prépa qui dit "si on me demande de résoudre un truc qui semble trop compliqué, c'est qu'en fait on est dans un cas particulier où c'est simple mais caché". Donc le polynôme X²Y² + X² -4XY + Y² + 1 va forcément se factoriser (sinon y'aurait pas de réponse plus élaborée que ben c'est l'ensemble des z tels que |z+1/z|=2), et si tu fais gaffe aux symétries (le polynôme est invariant par le groupe de transformations engendré par (X,Y) -> (Y,X) et (X,Y) -> (-X,-Y)) et aux monômes disponibles, t'as pas beaucoup de trucs à essayer.

Les symétries agissent sur les facteurs soit en les laissant fixe soit en les échangeant donc en fait tu dois avoir un morphisme de groupes entre (Z/2Z)² et S2 qui décrit cette action (c'est compliqué à montrer)

Il y a 4 morphismes possibles :

- le morphisme qui envoie tout le monde sur l'identité : on cherche donc des facteurs invariants par toutes les symétries :
(aX²+aY²+bXY+c)(a'X²+a'Y²+b'XY+c')

- le morphisme qui envoie seulement (X,Y -> Y,X) sur l'identité : les deux autres transformations doivent donc permuter les facteurs :
(aX²+aY²+bXY+cX+cY+d)(aX²+aY²+bXY-cX-cY+d)

- le morphisme qui envoie seulement (X,Y -> -X,-Y) sur l'identité :
(aX²+bY²+cXY+d)(bX²+aY²+cXY+d)

- le morphisme qui envoie seulement (X,Y -> -Y,-X) sur l'identité (c'est le bon) :
(aX²+bY²+cXY+dX-dY+e)(bX²+aY²+cXY-dX+dY+e)

[Zweig]

Pour factoriser ton truc Doraki, le mieux est de considérer le polynôme

[Doraki]

ouais j'avoue le plus simple est de factoriser le machin comme on a l'habitude de faire avec des polynômes de degré 2.
Trouver la racine carrée du discriminant est pas trop dur.

[Nightmare]

Doraki > Merci de m'avoir fait réouvrir mon bouquin d'algèbre!

Zweig > Merci de me l'avoir fait fermé...

:lol3:

[busard_des_roseaux]

Trouver tout les tels que

bonsoir,
un truc que je ne comprends pas: pourquoi la réponse immédiate
si z est solution , il existe tel que

ne marche pas bien car
n'est pas vraiment un carré "parfait" ???

pourquoi ça coince ?