Interversion de limites et fonctions réglées

[eilime]

Bonsoir à tous!

Voilà j'ai une petite question...
je ne comprends pas pourquoi, pour montrer qu'une limite uniforme d'une suite de fonctions en escalier est réglée, il faut faire appel au théorème d'interversion de limites.

Je m'explique: si l'on est dans le cas de la limite à gauche en x0:
en notant:

et en notant f l'application telle que:
on va devoir à un moment majorer |f(x)-f(x0-)| par l'inégalité triangulaire,on aura alors |f(x)-f(x0-)|=<|f(x)-fn(x)|+|fn(x)-fn(x0-)|+|fn(x0-)-f(x0-)| .Les premier et deuxième termes sont facilement majorables, mais c'est le 3ème qui me pose problème.
Pourquoi a -t-on besoin de prouver préalablement (par l'intermédiaire des suites de cauchy) que est bien convergente, puis que cette limite est f(x0-), pourquoi la CU ne suffit-elle pas pour conclure et majorer ce terme?

j'espère avoir été claire, je suis consciente qu'il manque le "décors"à savoir l'espace dans lequel on se place, etc...
Merci!
Emilie

[arnaud32]

quand tu ecris tu supposes deja que ta fonction a une limite a gauche
n'est pas un point de ton intervale, c'est juste une notation pour tes limites
ce qu'il faut ecrice c'est
|f(x)-L|=<|f(x)-fn(x)|+|fn(x)-fn(x0-)|+|fn(x0-)-L|
le premier terme se majore par la norme uniforme
le second par definition de la limite a gauche de
pour le troisieme tu ne peux rien dire sans prouver la convergence de la suite des

[eilime]

ok! parfait, merci beaucoup pour cette réponse!