!! C'est la suite de mon DM, et j'aurai juste besoin de confrmation en fait, voici l'énnoncé :
La suite ( Un) est définie par Uo= 0 et Un+1= (Racine de 12+Un)
1. Calculer U1 et U2. Vérifier qu'ils appartiennent a l'intervalle [0;4[.
2. Démontrer par récurrence que, pour tout n de N, on a : 0 < Un<4.
3. Etudier le sens de variation de la suite (Un).
1.Uo=0
U1= (racine de 12)
U2=Racine de (12+racin de 12)
[ Pour U2 je trouve bizarre qu'il y ait une racine dans une racine, et je vois pas comment on peut verifier qu'ils appartiennet a l'intervalle demandé, à moins de faire un graphique]
2. P(n) ; ''0<Un<4
Initialisation : Uo=0 dc P(0) est vraie car 0<Uo<4
Héridité : On suppose que P(n) est vraie pour un entier n, c-a-d que 0<Un<4
On veut montrer que P(n+1) est vraie , c-ad que 0<Un+1<4
Un+1 = Racine de (12+Un), or 0<Un<4, 12<Un+12< 16, Racinde de 12 < Racine de (12+Un) < racine de 16.
Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et est hériditaire dc elle est vraie pour tout n.
3. En conjecturant, la suite semble etre croissante
P(n) : Un< un+1
Initialisation : Uo=0 et U1= racine de 12
Dc Uo<U1 dc P(o) est vraie.
Hérédité : On suppose que P(n) est vraie pour un entier n, c-a-d que Un< un+1
On veut montrer que P(n+1) est vraie , c-ad que Un+1 <Un+2
Si Un<Un+1 , alors racine de (Un+12)< racine de ( Un+1+12)
Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et est hériditaire dc elle est vraie pour tout n
