Aide sur les vecteurs

par **Bluwws** » 25 Oct 2011, 09:22

Bonjour,

Depuis la seconde je ne suis pas très fort sur les vecteurs.
J'ai un DM à faire sur ce sujet et j'aimerai que vous m'aidiez.
Je vous cite le DM :

Soit ABC un triangle. Le point I est tel que BI = 2/5 BA, le point J est l'image de C par la translation de vecteur AC, et le point K est défini par la relation vectorielle :

-3AK + 3KB + 10KC = 0

1. Montrer que les points I,J et K sont alignés.
2. Préciser la position de K sur [IJ].

Merci de m'éclaircir sur ce DM.

par **gigamesh** » 25 Oct 2011, 09:37

Bluwws a écrit:Bonjour,

Depuis la seconde je ne suis pas très fort sur les vecteurs.
J'ai un DM à faire sur ce sujet et j'aimerai que vous m'aidiez.
Je vous cite le DM :

Merci de m'éclaircir sur ce DM.

Bonjour,
tu as fait quoi pour l'instant ?
En particulier :

est-ce que tu as fait une figure ?
est-ce que tu as compris comment placer le point K ?

par **Bluwws** » 25 Oct 2011, 09:40

Bonjour,

Alors oui j'ai fait une figure avec des coordonnées.
J'ai tout placé sauf K, j'obtiens ACJ trois points alignés et I placé sur AB. J'ai mis A (0;0), B (5;0) et C (0;5).

Je ne vois pas comment construire K :/

Merci de ta réponse rapide.

par **gigamesh** » 25 Oct 2011, 09:56

Bon,
en principe tu n'as pas à utiliser de papier quadrillé pour ce type d'exercice,
pas de repère, donc.

M'enfin ce n'est pas grave, tant que tu ne te sers pas des coordonnées que tu as proposées.

L'égalité -3AK + 3KB + 10KC = 0 est une équation vectorielle, dont l'inconnue est le point K.

Tu vas résoudre cette équation en isolant l'inconnue...

p.ex tu peux réécrire l'équation ainsi :
-3AK +3(KA+AB)+10(KA+AC)=0
10KA+3AB+10AC=0
AK=....

C'est ainsi que tu pourras placer K, mais aussi finir la partie calculatoire de l'exercice...

par **Bluwws** » 25 Oct 2011, 10:05

Merci, mais comment passes-tu de -3AK à 10KA?
Je dois trouver K ou AK sachant que j'ai déjà pour I --> BI et pour J --> 2AC, est_ce faux?

par **gigamesh** » 25 Oct 2011, 10:08

Bluwws a écrit:Merci, mais comment passes-tu de -3AK à 10KA?

En développant et en réduisant le membre gauche de l'équation écrite sur la ligne précédente.

Je dois trouver K ou AK sachant que j'ai déjà pour I --> BI et pour J --> 2AC, est_ce faux?

Pour I --> BI ?
Je ne comprends pas.

Tu veux dire BI = 2/5 BA ?

De toutes façons pour l'instant on essaie juste de placer K !
Chaque chose en son temps.

par **Bluwws** » 25 Oct 2011, 10:16

AK=10(3AB+10AC) ? j'ai vraiment du mal sur ça, je suis un peu perdu...

Merci de ton aide.

par **Bluwws** » 25 Oct 2011, 12:36

Personne ne sait?

par **gigamesh** » 25 Oct 2011, 12:37

Bluwws a écrit:AK=10(3AB+10AC) ? j'ai vraiment du mal sur ça, je suis un peu perdu...

Merci de ton aide.

On s'était arrêté sur 10KA +3AB+10AC=0
donc -10 AK = -3 AB -10 AC
donc 10 AK = 3 AB + 10 AC.

Pour isoler AK, en fait pour exprimer le vecteur AK en fonction des vecteurs AB et AC,
il reste à se débarasser du facteur 10...
Et ce n'est pas en multipliant par 10 !

Ce qu'il faut bien comprendre avec les vecteurs, c'est que le calcul vectoriel obéit aux mêmes règles
que le calcul sur les réels (distributivité etc.)

par **Bluwws** » 26 Oct 2011, 10:29

Merci!

J'obtiens:

AK= 3/10*AB + AC
BI= 2/5*BA
CJ= 2*AJ

Il faut maintenant que je montre que I, J et K sont alignés.
Je ne vois pas comment faire vu que je dois dire que IJ=kJK

Y'a t'il une autre méthode?

par **gigamesh** » 26 Oct 2011, 11:28

Bluwws a écrit:Merci!

J'obtiens:

AK= 3/10*AB + AC
BI= 2/5*BA
CJ= 2*AJ

Il faut maintenant que je montre que I, J et K sont alignés.
Je ne vois pas comment faire vu que je dois dire que IJ=kJK

Y'a t'il une autre méthode?

Il y a une méthode importante (importante en maths et en physique), c'est de décomposer
chaque vecteur en fonctions de deux vecteurs de base, par exemple AB et AC.

Tu as déjà AK en fonction de AB et AC ; tu as aussi BI = -2/5 AB ;
et CJ= 1/2 AJ =AC. (tu as confondu double et moitié, fais attention).

Il reste à exprimer IJ et JK en fonction de AB et AC.

Après ce sera presque fini.

par **Bluwws** » 26 Oct 2011, 11:34

Donc AK = 3/10*AB + AC
BI = -2/5 AB
CJ = AC
IJ = IA + AJ
= 3/5 BA + 2*AC
JK = ??

Je n'arrive pas du tout à me mettre en tête où est K :/
Est_ce bon pour IJ ?

par **gigamesh** » 26 Oct 2011, 12:44

Bluwws a écrit:Donc AK = 3/10*AB + AC
BI = -2/5 AB
CJ = AC
IJ = IA + AJ
= 3/5 BA + 2*AC
JK = ??

Je n'arrive pas du tout à me mettre en tête où est K :/
Est_ce bon pour IJ ?

Pour IJ c'est correct ; cependant écris plutôt IJ= -3/5 AB + 2 AC.

Pour placer K, utilise l'égalité AK = 3/10 AB + AC, qui peut se lire "pour aller de A à K, on commence par appliquer une translation de vecteur 3/10 AB, puis la translation de vecteur AC.

Et pour JK, il faut utiliser les égalités dont on dispose déjà :
JK = JC + CA + AK = -AC + CA -3/5 AB + 2 AC =...

par **Bluwws** » 27 Oct 2011, 10:29

Je retrouve enfin internet...

-AC + 2 AC = AC

JK = AC + CA - 3/5 AB
= -3/5 AB ?

Est_ce bon?

par **Bluwws** » 28 Oct 2011, 10:16

Ensuite il faut que je fasse IJ = kJK

Est_ce ça?

par **gigamesh** » 28 Oct 2011, 11:59

Bluwws a écrit:Ensuite il faut que je fasse IJ = kJK

Est_ce ça?

Que je "fasse" ? Le verbe faire n'appartient pas au vocabulaire mathématique.
Il faut que tu détermine un réel k, si c'est possible, tel que IJ = k JK.

Une correction sur ce qu'on avait déja fait :
-3 AK + 3 KB +10 KC =0 donne AK = 3/16 AB + 5/8 AC

On avait aussi BI = -2/5 AB et AJ = 2 AC.

Une fois que tu auras IJ et JK en fonction de AB et AC, tu auras fini.
C'est vraiment la le coeur de la méthode, et c'est quelque chose qui vaut la peine d'être retravaillé !

Ca commence ainsi :
IJ = IB+BA+AJ =...= ... AB+...AC
JK=JA+AK=-2AC+3/16AB+5/8AC=...AB+...AC

Ensuite trouver k est assez facile, c'est juste un coefficient de proportionnalité...

par **Bluwws** » 29 Oct 2011, 09:59

Je pense avoir trouvé!

IJ = -2/5 AB + 2*AC
JK = 3/16 AB - 11/8 AC

Tout est bon? :)

par **gigamesh** » 29 Oct 2011, 11:39

Bluwws a écrit:Je pense avoir trouvé!

IJ = -2/5 AB + 2*AC
JK = 3/16 AB - 11/8 AC

Tout est bon?

Ca se précise !
Bon on trouve plutôt IJ = -3/5 AB+2AC mais je suis d'accord pour JK.

Par contre on a un problème ; les points I, J et K ne sont pas alignés...
Donc on ne va pas pouvoir trouver de coefficient k qui convienne ;
pour pouvoir écrire IJ = k JK il faudrait avoir -2/5 = k*3/16 et 2 = k * -11/8,
donc il faudrait avoir à la fois k = -2/5 * 16/3 = -32/15 et k = 2 * -8/11 = -16/11 = -32 /22...

Que c'est contrariant !

Relis l'énoncé ; en refaisant l'exercice de la même manière mais avec comme définition de K la relation -3KA +3 KB + 10 KC =0, je trouve I, J et K alignés, et même K au milieu de [IJ].

En tout cas ton exo est pas mal ; je pense que je vais le donner en DM à mes 1S.
Tu peux approfondir un peu l'exercice en te plaçant dans le repère (A;B,C), d'ailleurs.

par **Bluwws** » 29 Oct 2011, 13:14

Donc pour trouver que I, J et K sont alignés, il me faudrait IJ = -2/5 +2*AC ?

Pourtant on ne trouve pas les mêmes k : -32/15 =/= -32/22 ... Je suis perdu :/

par **gigamesh** » 29 Oct 2011, 14:15

Bluwws a écrit:Donc pour trouver que I, J et K sont alignés, il me faudrait IJ = -2/5 +2*AC ?

Pourtant on ne trouve pas les mêmes k : -32/15 =/= -32/22 ... Je suis perdu :/

C'est bien parce qu'on ne trouve pas le même k qu'on peut en déduire que les vecteurs IJ et JK ne sont pas colinéaires, donc que les points I, J et K ne sont pas alignés.

Cela ne résulte pas d'une erreur de calcul de notre part ;
c'est pourquoi je t'ai suggéré de vérifier les données de l'énoncé ;
as-tu vérifié que K était bien défini comme tu l'as dit dans ton premier post ?

Si K est bien défini comme tu l'as dit, alors I, J et K ne sont pas alignés...

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