Deux racines cubiques

[busard_des_roseaux]

Bonjour,


Montrer que

[Doraki]

il faut chercher a tel que (1/2 + a sqrt( truc))^3 = 3 + sqrt( truc ).
Si le résultat est vrai alors a existe et est rationnel.

[Black Jack]

L'égalité à démontrer peut s'écrire :

[V(368/27) + 3]^(1/3) - [V(368/27) - 3]^(1/3) = 1

(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3a²b - b³
*****************
[V(368/27) + 3]^(1/3) - [V(368/27) - 3]^(1/3)

= [[V(368/27) + 3]^(1/3) - [V(368/27) - 3]^(1/3)]^3

= V(368/27) + 3 - 3.[V(368/27) + 3]^(2/3) * [V(368/27) - 3]^(1/3) + 3.[V(368/27) + 3]^(1/3)* [V(368/27) - 3]^(2/3) - V(368/27) + 3

= - 3.[V(368/27) + 3]^(2/3) * [V(368/27) - 3]^(1/3) + 3.[V(368/27) + 3]^(1/3)* [V(368/27) - 3]^(2/3) + 6

= - 3.[V(368/27) + 3]^(1/3) * [V(368/27) + 3]^(1/3) * [V(368/27) - 3]^(1/3) + 3.[V(368/27) + 3]^(1/3)* [V(368/27) - 3]^(1/3) * [V(368/27) - 3]^(1/3) + 6

= - 3.[V(368/27) + 3]^(1/3) * [368/27 - 3²]^(1/3) + 3.[368/27 - 3²]^(1/3) * [V(368/27) - 3]^(1/3) + 6

= - 3.[V(368/27) + 3]^(1/3) * [125/27]^(1/3) + 3.[125/27]^(1/3) * [V(368/27) - 3]^(1/3) + 6

= - 3.[125/27]^(1/3) * [(V(368/27) + 3)^(1/3) - (V(368/27) - 3)^(1/3)] + 6


On aboutit donc à :


[V(368/27) + 3]^(1/3) - [V(368/27) - 3]^(1/3) = - 3.[125/27]^(1/3) * [(V(368/27) + 3)^(1/3) - (V(368/27) - 3)^(1/3)] + 6

[V(368/27) + 3]^(1/3) - [V(368/27) - 3]^(1/3) = - [27*125/27]^(1/3) * [(V(368/27) + 3)^(1/3) - (V(368/27) - 3)^(1/3)] + 6

[V(368/27) + 3]^(1/3) - [V(368/27) - 3]^(1/3) = - [125]^(1/3) * [(V(368/27) + 3)^(1/3) - (V(368/27) - 3)^(1/3)] + 6

[V(368/27) + 3]^(1/3) - [V(368/27) - 3]^(1/3) = - 5 * [(V(368/27) + 3)^(1/3) - (V(368/27) - 3)^(1/3)] + 6

6 * [[V(368/27) + 3]^(1/3) - [V(368/27) - 3]^(1/3) ] = 6

[V(368/27) + 3]^(1/3) - [V(368/27) - 3]^(1/3) = 1

CQFD

Mais c'est calculatoire et embêtant à faire.

Il y a sûrement plus simple.

:zen:

[Euler07]

Ah oui y a plus simple

On peut poser x = a - b. Puis voir combien font a^3 - b^3. Le reste passe tout seul

:livre:

[cheria2010]

salut
si on pose :
et
donc

[Doraki]

Ah oui y a plus simple
On peut poser x = a - b. Puis voir combien font a^3 - b^3. Le reste passe tout seul

Je suis pas sûr que trouver la valeur de (a^3 - b^3) / (a-b) soit super simple.

salut
si on pose :
et
donc

et à partir de là t'en déduis les valeurs de a^3 et b^3, donc t'en prends les racines cubiques et tu les sommes ? ça fait quoi d'autre à part tourner en rond ?

[Euler07]

Je suis pas sûr que trouver la valeur de (a^3 - b^3) / (a-b) soit super simple.

et à partir de là t'en déduis les valeurs de a^3 et b^3, donc t'en prends les racines cubiques et tu les sommes ? ça fait quoi d'autre à part tourner en rond ?

Non on tourne pas en rond et je ne fais pas le rapport de (a^3-b^3)/(a-b) déjà

:livre:

[Doraki]

ah tu veux dire que tu trouves une équation de degré 3 satisfaite par x et tu vérifies que 1 est solution ?

[messinmaisoui]

salut
si on pose :
et
donc

Remarque en passant ... :crunch:
Dans ce cas sachant que
(a+b)³
= a³ + 3a²b + 3ab² + b³
= (a³ + b³) + 3ab(a+b)

On trouve (a+b)³ = 6 + 3 (-5/3) (a+b)
en posant Y = a+b on trouve Y³ = 6 -5(a+b)
soit (Y-1)(Y² + X + 6) = 0
et donc Y-1 = 0 => a+b =1 CQFD ?

[Euler07]

ah tu veux dire que tu trouves une équation de degré 3 satisfaite par x et tu vérifies que 1 est solution ?

Ouais Doraki c'est un peu ça, je factorise tout de même a^3-b^3

:livre: