Piece en l'air

[carzou]

Bonjour

Une petite question de proba à laquelle je ne parviens pas à repondre.
C'est sans doute pas tres compliqué mais les cours c'est un peu loin pour moi ...

On a une pîece truquée qui tombe sur face 70% des fois.
Quelle est la probabilité pour qu'en 100 lancers la piece tombe au moins 70 fois sur pile ?

Merci

[scelerat]

La probabilité d'avoir dans l'ordre 70 fois face, puis 30 fois pile est. C'est évidemment la même si on range les 100 tirages dans un ordre différent. Or on a ordres différents possibles, donc la probabilité d'avoir 70 fois face et 30 fois pile dans un ordre quelconque est

[beagle]

bonjour scelerat,
la question est au moins 70 piles,
donc cela peut ètre 72 piles,85 piles ...

[scelerat]

bonjour scelerat,
la question est au moins 70 piles,
donc cela peut ètre 72 piles,85 piles ...

Aïe ! Je ne crois pas que ça s'exprime sans passer par des fonctions beta, alors.

[Dlzlogic]

Bonsoir,
En matière de probabilités, si le jeu est pipé, on ne peut rien conclure.
Par contre, on pourrait poser le problème autrement, dans un sac contenant 100 boules, 70 rouges et 30 blanches, quelle est la probabilité de sortir une rouge au moins 70 fois sur 100 tirages ? c'est à dire au moins 7 lois sur 10 ?

[scelerat]

Aïe ! Je ne crois pas que ça s'exprime sans passer par des fonctions beta, alors.

Ceci dit, pour une approximation, ne doit pas être si loin que cela.
70 est de toute évidence la médiane, donc si on pose l'approximation , comme , on en déduit le résultat précédent.

[carzou]

Merci

@ Dlzlogic : En quoi le fait d'avoir une piece qui tombe sur face 70% des fois te semble insuffisant pour conclure ?

@ Scelerat : Je ne connais pas les fonctions beta, sans approximation il faudrait donc faire :

Somme(de k=70 à k=100) de C(100,k)*(0.3^k)*(0.7^(100-k))

La formule se simpllifie t'elle ou faut il faire la somme "à la main" ?

[scelerat]

@ Scelerat : Je ne connais pas les fonctions beta, sans approximation il faudrait donc faire :

Somme(de k=70 à k=100) de C(100,k)*(0.3^k)*(0.7^(100-k))

La formule se simpllifie t'elle ou faut il faire la somme "à la main" ?

Justement, quand on a une expression qu'on rencontre souvent et qu'on ne sait pas simplifier, on lui donne un nom comme "fonction beta". En général, d'autres expressions voisines s'expriment alors avec cette même fonction, et dans le cas de la fonction de répartition de la loi binomiale, c'est la fonction beta incomplète régularisée, voir l'article de Wikipedia sur la fonction beta.

[Exquise Sensation]

Bonjour

Une petite question de proba à laquelle je ne parviens pas à repondre.
C'est sans doute pas tres compliqué mais les cours c'est un peu loin pour moi ...

On a une pîece truquée qui tombe sur face 70% des fois.
Quelle est la probabilité pour qu'en 100 lancers la piece tombe au moins 70 fois sur pile ?

Merci

Soit Xj j=1..100 cent v.a de Bernouilli disons que Xj=1 quand la pièce tombe sur pile et X=0 pour face.
P(Xj=0)=0.7

X=somme des Xj est une loi binomiale car les Xj sont 2 à deux indépendants..

Proba d'avoir au moins 70 pile = P(X>=70)

[Dlzlogic]

Bonjour carzou,

@ Dlzlogic : En quoi le fait d'avoir une piece qui tombe sur face 70% des fois te semble insuffisant pour conclure ?

C'est surtout un problème de rigueur de langage qui m'a fait dire cela. En matière de probabilité, les hypothèses de "dés pipés" doivent être exclues.
Votre question mène tout droit à une conclusion, puisqu'on a au moins telle sortie, la pièce est pipée à 70% Ce type de raisonnement doit être exclu.
Par contre, ce qui est tout à fait légitimes, c'est de comparer, classe par classe, les sorties de tirages avec la répartition normale. Sujet très débattu actuellement sur ce forum.

[fatal_error]

salut,

le manque de rigueur nest pas illegitime.
il faut simplement comprendre que la probabilite p de faire pil sur un lancer est de 70% au lieu des habituels 50% (ou 0.5, c'est pareil).

on ne fait pas lhypothese que les deux sont pipes, pas plus quon essaie de la verifier. on qualifie simplement ces des de pipes.

[beagle]

salut,

le manque de rigueur nest pas illegitime.
il faut simplement comprendre que la probabilite p de faire pil sur un lancer est de 70% au lieu des habituels 50% (ou 0.5, c'est pareil).

on ne fait pas lhypothese que les deux sont pipes, pas plus quon essaie de la verifier. on qualifie simplement ces des de pipes.

entièrement d'accord,
ici pièce truquée est employée pour pièce déséquilibrée,
mais les F ou P arrivent aléatoirement en fonction de leur fréquence.

ce serait truqué impossible à répondre si une personne décide à chaque moment ou souvent de F ou /P tout en respectant au final du 7/10.
si une personne fait systématiquement la mème série FFFPPFFPFF, ce serait mal barré pour avoir 7/10 P et pourtant lafréquence serait respectée,
simplement les F et les P n'ont rien d'aléatoires ...

[scelerat]

Voilà que je me rends compte que je n'ai pas répondu à la question originale, puisque j'ai supposé que l'on voulait 70 fois face, et que c'était 70 fois pile. :cry: Pas moyen alors à mon avis d'éviter les fonctions beta.

[nuage]

Salut,
dans un genre plus simple que les lois bêta, il s'agit simplement d'une loi binomiale.

Pour avoir une valeur approchée de la réponse, on peut utiliser un tableur genre OooCalc ou excel avec la fonction [FONT=Courier New]loi.binomiale[/FONT]
Je n'ai pas fait le calcul, mais il est évident que le résultat est très proche de zéro.

[Laquadrature]

ahem et le calcul tient-il compte de la probabilité que la pièce a) ne retombe pas et b) qu'elle tombe sur la tranche ?

[vincentroumezy]

Une pièce, ça retombe.

[scelerat]

Une pièce, ça retombe.

Et si la pièce est truquée pour favoriser une face, elle ne peut pas tenir en équilibre sur la tranche.

[Dlzlogic]

Bonjour,

Et si la pièce est truquée pour favoriser une face, elle ne peut pas tenir en équilibre sur la tranche.

Oh, si on peut très bien imaginer que un chanfrein est réalisé sur une certaine partie du périmètre (environ 80%) mais que la partie restante reste on cylindre parfait.

[TheReveller]

Probabilité FACE = 0.7
Probabilité PILE = 0.3
Nombre d'essais N = 100

Soit la variable X représentant le nombre de fois que la pièce est tombée sur PILE

P(X >= 70) = P(X = 70) + P(X = 71) + ... + P(X = 99) + P(X = 100)

où

P(X = 70) = 100!/(70!*(100-70)!) * 0.3^70*(1-0.3)^(100-70)
P(X = 71) = 100!/(71!*(100-71)!) * 0.3^71*(1-0.3)^(100-71)
...
P(X = 99) = 100!/(99!*(100-99)!) * 0.3^99*(1-0.3)^(100-99)
P(X = 100) = 100!/(100!*(100-100)!) * 0.3^100*(1-0.3)^(100-100)

Donc :

P(X >= 70) = 2.01914180576 * 10^-16

0.0000000000000201914180576 %