Polynôme et coefficient dominant

[sarah79]

Bonjour,
je bloque sur une question et j'aurais besoin d'un peu d'aide. Merci d'avance.

Voici la question :
Soit R(x) un polynôme de degré n. Montrer que le coefficient de x^n est égal à SOMME[(R(xk)/B'(xk)]. (la somme allant de k=0 à n)
Sachant que dans mon énoncé bien avant on a posé B(x)=(x-x0)(x-x1)...(x-xn) avec x0,..xn, n+1 points distincts de l'intervalle [a,b].

J'en est donc déduit que B'(xk)=PRODUIT(xk-xi) le produit allant de i=0 à n avec i différent de k. Mais je suis bloqué je ne vois pas comment montrer ce qui est demandé.

J'en suis à SOMME[(R(xk)/B'(xk)]= SOMME((a0+a1xk+...anxk^n)/(xk-x0)...(xk-x(k-1))(xk-x(k+1))..(xk-xn))

[Maxmau]

Bj

Décompose R(X) dans la base de Lagrange (L0 , L1 , L2 ,......, Ln) associée à x0 x1.......xn
( (L0 , L1 , L2 ,......, Ln) est une base de L'espace des polynômes de degré <= n )

[sarah79]

donc R(x) =a0l0(x)+a1l1(x)+..anln(x)
où lk(x)= PRODUIT de ((x-xi)/(xk-xi)) de i=0 à n avec i différent de k
donc R(x)=a0*(x-x1)/(x0-x1)*..(x-xn)/(x0-xn) +...+an*(x-x0)/(xn-x0)*..*(x-x(n-1)/xn-x(n-1))

et après jvois pas comment procéder?

[Maxmau]

Lk(X) est le polynôme de degré n qui vaut 1 pour X=xk et 0 pour X=xi pour les i distincts de k
Il est facile d'exprimer Lk et de préciser son coeff dominant
Si tu fais X=x0 , x1 , x2 ,......,xn dans l'égalité R(X)) = a0 L0(X)+ a1 L1(X)+........+an Ln(X)
tu obtiens a0 =R(x0) , a1 =R(x1) ...etc.....
Le résultat cherché est alors évident

[sarah79]

J'ai bien compris ce que vous m'avez expliqué, enfin je pense.
On en déduit donc que le coefficient dominant de R(x) = SOMME des ak (de k=0 à n) =SOMME des R(xk) (de k=0 à n) mais pourquoi sur B'(xk) là je comprends pas. Ai je oublié quelque chose?

[Maxmau]

tu oublies le coeff dominant des Lk
Par exemple, le coff dominant de L0 est 1/((x0-x1)(x0-x2)....(x0-xn))
car L0(X) = ((X-x1)(X-x2).....(X-xn)) / ((x0-x1)(x0-x2)....(x0-xn))
Il est de degré n et vérifie Lo(xo) =1 et Lo(xi) = 0 pour i = 1, 2 ,.....,n

[sarah79]

A oui d'accord merci beaucoup pour votre aide.