équation fonctionnelle
Olympiades mathématiques, énigmes et défis
par busard_des_roseaux » 13 Oct 2011, 16:11
bonjour,
il y avait une équation fonctionnelle qui m'intéressait, qui a dû disparaitre dans le crash de la Database
que je restaure de mémoire:
trouver les fonctions u,dont la restriction à N-{0}, vérifient
i) u(nm)=u(n)u(m)
ii) u(n) >= 1
iii) (n+1)u(n) <= n u(n+1)
est-ce l'énoncé exact ?
par busard_des_roseaux » 15 Oct 2011, 12:51
j'avais trouvé
i) u est croissante
ii) u(n) à définir sur les indices naturels premiers
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Doraki
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par Doraki » 15 Oct 2011, 13:25
Quitte à poser f(x) = u(x)/x, on peut remplacer iii) par "f(x) est croissante".
On suppose donc que f est croissante, multiplicative, et non nulle.
Alors pour tout rationnel a/b et pour tout x y dans N*,
si x^a <= y^b alors f(x^a) <= f(y^b), puis f(x)^a <= f(y)^b.
Donc si x^(a/b) <= y alors f(x)^(a/b) <= f(y).
En prenant deux suites de rationnels qui tendent vers log y / log x, on peut donc montrer que
f(x)^(log y/log x) <= f(y) et f(y)^(log x/log y) <= f(x).
donc f(y) = f(x)^(log y/log x)
Supposons donc f(2) = 2^k avec k >=0 (si k<0 alors f(4) < f(2) et on cherche f croissante)
Alors pour tout y, f(y) = (2^k)^(log y/log 2) = y^k.
Donc les solutions au problème initial sont les suites u(n) = n^k avec k>=1
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