Existence solution système polynomial

[switch_df]

Bonjour à tous,

Voila, je travaille sur un petit projet et je suis tombé sur un problème que je n'arrive pas à résoudre. Soit d_{ijk} avec i,j,k=1,2 ainsi que d_{ijk} complètement symétrique. Il y a donc 4 nombre différents (au plus) dans d_{ijk}. J'aimerais montrer que le système non linéaire suivant admet une solution réelle quel que soit alpha et quel que soit a:




J'ai vérifié que c'est effectivement le cas pour quelques valeurs sur mathematica. J'ai également d'autres indices plus solide qui me laissent penser que c'est bien le cas (mon travail est traité dans un article qui montre d'une manière totalement différente de la mienne un résultat. Si cette équation admet tjs une solution, cet article et moi avons le même résultat ce qui me pousse fortement à vouloir montrer ceci.)

[switch_df]

Mon tex ne passe pas pour je ne sais quelle raison, voici mes 4 équations équations:

\frac{2}{\sqrt{3}}=\alpha^2\sum_{l,m,n}\Lambda_{1l}\Lambda_{1m}\Lambda_{1n}d_{lmn}

0=\sum_{l,m,n}\Lambda_{1l}\Lambda_{1m}\Lambda_{2n}d_{lmn}

-\frac{1}{\sqrt{3}}=\alpha^2\sum_{l,m,n}\Lambda_{1l}\Lambda_{2m}\Lambda_{2n}d_{lmn}

(\text{Det}\Lambda)=\Lambda_{11}\Lambda_{22}-\Lambda_{12}\Lambda_{21}=[-\frac{a}{\alpha^4}]^{1/6}

J'ai oubli de préciser que les inconnues sont les 4 entrées de la matrice Lambda. J'ai donc 4 équations polynomiales de degré 3 à 4 inconnues.

Merci beaucoup de votre aide.

A plus