Exercice fonction exponentielle (Terminale ES)

[Aola]

Bonjour à tous, voici un exercice que je dois faire qui reprend un peu tout sur la fonction exponentielle, j'aimerais que vous m'aidiez pour certaines questions pour que je puisse bien comprendre le chapitre (j'ai un contrôle sur ce chapitre la semaine prochaine). Merci d'avance !

On considère la fonction f définie sur R par : f(x) = x + ex.

1. Déterminer la limite de f en +;) et en –;).
Limite de f en +;) = +;).
Limite de f en -;) = –;).


2. Etudier les variations de f.
f'(x) = 1 + ex > 0 donc f est strictement croissante sur R


3. Déterminer les coordonnées du point de C où la tangente T à C a pour
coefficient directeur 3.
Je dois résoudre f'(x) = 3 et je trouve 1 + ex = 3 donc ex = 2 donc x = ln2.
Mais je ne sais pas comment trouver les coordonnées du point C...


4. Démontrer que l’équation f(x) = 0 a une solution unique alpha. Donner un
encadrement de ;) d’amplitude 10-2. Etudier le signe de f(x) selon les valeurs
de x.
Je fais le théorème des valeurs intermédiaires donc: la fonction est continue sur R et 0 appartient à -
–;) ; +;) donc d'après le TVI il existe au moins un alpha appartient à –;) ; +;) tel que f(alpha) = 0. La fonction est strictement croissante sur –;) ; +;) donc alpha est unique. Pour cette question je ne suis pas sûr et je ne trouve pas d'encadrement :x.


5. Démontrer que la droite D d’équation y = x est asymptote à la courbe C
en -;). Préciser la position de D par rapport à C. Pour quelles valeurs de x la
distance entre C et D est-elle inférieure à 0,01 cm ?
Lim x tend vers –;) [ f(x) - x ] = lim x tend vers –;) [x + ex - x] = 0. Donc la droite d'équation y = x est une asymptote oblique à la courbe C en -;).
La droite D est toujours au dessus de l'asymptote oblique. Après je n'ai pas compris la dernière question.


6. Représenter C sur [-3 ; 2]
Ca j'ai réussi.

[XENSECP]

On considère la fonction f définie sur R par : f(x) = x + ex.

1. Déterminer la limite de f en +;) et en –;).
Limite de f en +;) = +;).
Limite de f en -;) = –;).

Ok

2. Etudier les variations de f.
f'(x) = 1 + ex > 0 donc f est strictement croissante sur R

Ok

3. Déterminer les coordonnées du point de C où la tangente T à C a pour
coefficient directeur 3.
Je dois résoudre f'(x) = 3 et je trouve 1 + ex = 3 donc ex = 2 donc x = ln2.
Mais je ne sais pas comment trouver les coordonnées du point C...

Non mais lol ! Tu as fait le plus dur ! Dire que ça revient à résoudre . Maintenant que tu as x, il te reste l'ordonnée... f(x) !

4. Démontrer que l’équation f(x) = 0 a une solution unique alpha. Donner un
encadrement de d’amplitude 10-2. Etudier le signe de f(x) selon les valeurs
de x.
Je fais le théorème des valeurs intermédiaires donc: la fonction est continue sur R et 0 appartient à -
–;) ; +;) donc d'après le TVI il existe au moins un alpha appartient à –;) ; +;) tel que f(alpha) = 0. La fonction est strictement croissante sur –;) ; +;) donc alpha est unique. Pour cette question je ne suis pas sûr et je ne trouve pas d'encadrement .

Ok. L'encadrement doit se faire à la calculatrice hein

5. Démontrer que la droite D d’équation y = x est asymptote à la courbe C
en -;). Préciser la position de D par rapport à C. Pour quelles valeurs de x la
distance entre C et D est-elle inférieure à 0,01 cm ?
Lim x tend vers –;) [ f(x) - x ] = lim x tend vers –;) [x + ex - x] = 0. Donc la droite d'équation y = x est une asymptote oblique à la courbe C en -;).
La droite D est toujours au dessus de l'asymptote oblique. Après je n'ai pas compris la dernière question.

Ok. Pour le "au dessus", justifie que la différence c'est ... ce qui te permet de calculer "la distance entre C et D"...

6. Représenter C sur [-3 ; 2]
Ca j'ai réussi.

Je me doute

[Cryptocatron-11]

3. Déterminer les coordonnées du point de C où la tangente T à C a pour
coefficient directeur 3.
Je dois résoudre f'(x) = 3 et je trouve 1 + ex = 3 donc ex = 2 donc x = ln2.
Mais je ne sais pas comment trouver les coordonnées du point C...

Tu as trouvé ton x tel que le coeff directeur vaut 3. Il suffit donc de remplacer la valeur de ton x dans l'équation de ta fonction f(x) et tu auras les coordonnées x;y

[Aola]

Non mais lol ! Tu as fait le plus dur ! Dire que ça revient à résoudre f'(x) = 3. Maintenant que tu as x, il te reste l'ordonnée... f(x) !

Ah ouais... xD ! Donc ça donne f(ln2) = ln2 + e^ln2 = ln2 + 2, c'est ça ? Donc C (ln2 ; ln2+2) ?

Ok. L'encadrement doit se faire à la calculatrice hein

Justement notre prof ne sait pas le faire, il le fait toujours à la main... Comment le faire avec la calculette ? J'ai une TI-82.

Ok. Pour le "au dessus", justifie que la différence c'est ... ce qui te permet de calculer "la distance entre C et D"... x < ...

Je n'ai pas compris :s

Merci beaucoup en tout cas

[Aola]

Tu as trouvé ton x tel que le coeff directeur vaut 3. Il suffit donc de remplacer la valeur de ton x dans l'équation de ta fonction f(x) et tu auras les coordonnées x;y

Merci beaucoup Je trouve à la fin C (ln2 ; ln2+2). C'est vrai que c'est super simple XD mais des fois c'est tellement simple que je n'y pense même pas.

[XENSECP]

L'exponentielle à la main ?

Tu peux dire que f(0) = 1 > 0 et f(-1) = -1+1/e < 0 mais pour être plus fin il faut se mettre en mode "table" sur TI-82. Je t'avoue que je sais plus exactement le nom des touches mais bon.

Pour la dernière question, la mesure de distance entre C et D est défini par ... D'où mon résultat !

[Cryptocatron-11]

En fait tu cherche f(x)-x = [x + e^x - x] < 0.01
D'ou e^x<0.01 et après il ne te reste plus qu'à trouver x comme pour le 3)

En espérant que t'es compris ...

[sad13]

Tu peux un peux justifier l'unicité du "alpha" tel que son image est nulle en disant que c'est grâce à à .................................

[XENSECP]

Tu peux un peux justifier l'unicité du "alpha" tel que son image est nulle en disant que c'est grâce à à .................................

Euh le TVI a été fait

[Aola]

Tu peux dire que f(0) = 1 > 0 et f(-1) = -1+1/e 0 pour tout x appartient à ]0; +°°[
f(x) < 0 pour tout x appartient à ]-°°, -1[

Mais est-ce que l'encadrement ]-1;0[ est d'amplitude 10^-2 ?

En fait tu cherche f(x)-x = [x + e^x - x] < 0.01
D'ou e^x<0.01 et après il ne te reste plus qu'à trouver x comme pour le 3)

Je crois avoir compris, je vais faire les calculs et voir ce que ça donne !

Merci encore à tous les deux

[XENSECP]

Bah non l'encadrement n'est pas assez précis.... Mais c'était pour te donner une idée de comment faire. En sachant que bon le calcul de l'exp doit se faire à la calculatrice hein.

[sad13]

Oui certes mais l'existence en découle et non pas l'unicité qui vient de "continue+ strictement monotone"; je chpote pas mais affirmer l'unicité ça se justifie, shai pas .......

[Aola]

J'aurais une autre question: j'ai l'équation g(x) = x² + et on me demande:

Pour m réel, on considère l’équation g(x) = m. Discuter selon la valeur de m le nombre de solutions dans R de cette équation.
Comment dois-je procéder ?

[Cryptocatron-11]

J'aurais une autre question: j'ai l'équation g(x) = x² + et on me demande:

Pour m réel, on considère l’équation g(x) = m. Discuter selon la valeur de m le nombre de solutions dans R de cette équation.
Comment dois-je procéder ?

Si a=0 combien y'a t'il de solution ?
Si a est strictement positif combien y'a t il de solution ?

[Cryptocatron-11]

J'aurais une autre question: j'ai l'équation g(x) = x² + et on me demande:

Pour m réel, on considère l’équation g(x) = m. Discuter selon la valeur de m le nombre de solutions dans R de cette équation.
Comment dois-je procéder ?

dérive la fonction g(x) et dresse ton tableau de variation. Tu remarquera qu'on a toujours deux solutions sur R sauf au point x où la dérivée est nulle (il y a qu'une solution en ce point)

[Cryptocatron-11]

dérive la fonction g(x) et dresse ton tableau de variation. Tu remarquera qu'on a toujours deux solutions sur R sauf au point x où la dérivée est nulle (il y a qu'une solution en ce point)

[Aola]

dérive la fonction g(x) et dresse ton tableau de variation. Tu remarquera qu'on a toujours deux solutions sur R sauf au point x où la dérivée est nulle (il y a qu'une solution en ce point)

Comment mettre cela en relation avec 'm' ?

[Aola]

En dérivant je trouve g'(x) = 2x + donc:
g'(x) 0 sur ]0; +°°[ (donc g est croissante sur cet intervalle)

[sad13]

y a plus simples , on regarde le nombre de poiints d'intersections de Cf(courbe représentive de f) et la droite d'équation y=m et ona les solutions de f(x)=m

je vois pas le rôle de f', dsl

[Aola]

M'ouais mais dans l'exo, on précise "Discuter selon la valeur de m le nombre de solutions dans R de cette équation."
Donc à mon avis il doit y avoir un truc avec "lorsque m > ... on a tant de solutions et lorsque m < ... on a tant de solutions", mais je ne vois vraiment pas comment faire...