Espace Vectoriel Engendré par une Partie.

par **totololo** » 23 Jan 2011, 14:24

Bonjour à toutes & à tous.
J'ai un peu de mal à comprendre la notion de sous espace vectoriel engendré par une partie.
En nommant E un Kev, si A C E, on a Vect(A) qui représente le plus petit sev de E qui contient A, autrement dit l'ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs de A.
Je connais cette définition mais j'ai du mal à me faire une représentation de Vect(A).
Pourquoi, dans R², Vect{ (1,1) } est il la droite y = x? Pourquoi Vect{ (1,1),(1,-1) } est R² tout entier ?

Puis, question plus technique, pourquoi quand on veut montrer Vect(a;b) C Vect(c;d) , il suffit de montrer que a et b sont dans Vect(c;d) ?

Merci d'avance. :we:

par **Nightmare** » 23 Jan 2011, 14:30

Salut,

eh bien, essaye d'écrire les définitions dans ton cas particulier.

Par exemple, Vect{(1,1)}, c'est quoi par définition? Donc pourquoi est-ce une droite? (Faut commencer par se demander aussi ce qu'est une droite en terme d'algèbre linéaire).

par **XENSECP** » 23 Jan 2011, 14:32

Euh le vecteur (1,1) c'est le vecteur directeur de y = x dans R²... Si tu n'en es pas convaincu ça va être compliqué hein ;)

Ensuite bah (1,-1) est orthogonal à (1,1) donc c'est comme si tu avais tourné ton repère classique de 45° ... et donc ça engendre R² tout entier.

Pour la dernière question c'est plutôt l'inverse hein ;) a et b doivent être dans Vect(c;d)

par **Nightmare** » 23 Jan 2011, 14:47

totololo a écrit:En nommant E un Kev, si A C E, on a Vect(A) qui représente le plus petit sev de E qui contient A, autrement dit l'ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs de A.

Question que j'aurais dû poser avant mon premier post :

Vois-tu déjà pourquoi les deux définitions sont équivalentes? A savoir pourquoi le plus petit sev contenant une partie A est exactement l'ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs de A ?

par **totololo** » 23 Jan 2011, 15:14

Nightmare a écrit:Question que j'aurais dû poser avant mon premier post :

Vois-tu déjà pourquoi les deux définitions sont équivalentes? A savoir pourquoi le plus petit sev contenant une partie A est exactement l'ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs de A ?

Non pas vraiment :triste:

par **totololo** » 23 Jan 2011, 15:15

XENSECP a écrit:Euh le vecteur (1,1) c'est le vecteur directeur de y = x dans R²... Si tu n'en es pas convaincu ça va être compliqué hein

Ensuite bah (1,-1) est orthogonal à (1,1) donc c'est comme si tu avais tourné ton repère classique de 45° ... et donc ça engendre R² tout entier.

Pour la dernière question c'est plutôt l'inverse hein a et b doivent être dans Vect(c;d)

Oui Oui , je corrige desuite !

par **totololo** » 23 Jan 2011, 15:20

XENSECP a écrit:Ensuite bah (1,-1) est orthogonal à (1,1) donc c'est comme si tu avais tourné ton repère classique de 45° ... et donc ça engendre R² tout entier.

Donc Vect{ (1,1) , (1,-1) } représente les droites y = x et y = - x c'est ca ? Mais alors pourquoi R² tout entier est il engendré? Fin j'veux dire, si on garde une vision " graphique " , le couple ( 3;4 ) de réel n'est pas atteint , non?

par **XENSECP** » 23 Jan 2011, 15:25

Convaincu maintenant ?

Par ailleurs on parle de vecteurs et non de points hein

par **Nightmare** » 23 Jan 2011, 15:36

totololo a écrit:Non pas vraiment :triste:

Qu'est-ce qu'un espace vectoriel pour toi? Quel rapport avec la notion de "combinaison linéaire" ?

par **totololo** » 23 Jan 2011, 17:45

XENSECP a écrit:

Convaincu maintenant ?

Par ailleurs on parle de vecteurs et non de points hein

Convaincu

par **totololo** » 23 Jan 2011, 17:48

Nightmare a écrit:Qu'est-ce qu'un espace vectoriel pour toi? Quel rapport avec la notion de "combinaison linéaire" ?

Un espace vectoriel c'est un triplet ( E,+,.) avec ( E,+) groupe abélien et " . " qui vérifie certaines lois..
La notion de combinaison linéaire intervient lorsqu'il est question de stabilité pour les lois + et " . " .

par **Nightmare** » 23 Jan 2011, 18:41

Ok, de manière beaucoup plus parlante : Un espace vectoriel c'est justement un espace dans lequel on peut faire des combinaisons linéaires. Il est alors clair que, étant donnée une partie A, si l'on veut créer le plus petit espace vectoriel contenant A, on est déjà sûr que cet espace vectoriel contient toutes les combinaisons linéaires de vecteurs de A par définition. Maintenant, vois-tu l'inclusion réciproque?

par **totololo** » 24 Jan 2011, 21:51

Nightmare a écrit:Ok, de manière beaucoup plus parlante : Un espace vectoriel c'est justement un espace dans lequel on peut faire des combinaisons linéaires. Il est alors clair que, étant donnée une partie A, si l'on veut créer le plus petit espace vectoriel contenant A, on est déjà sûr que cet espace vectoriel contient toutes les combinaisons linéaires de vecteurs de A par définition. Maintenant, vois-tu l'inclusion réciproque?

Yes ! J'ai eu le temps d'y méditer

Merci .

Espace Vectoriel Engendré par une Partie.

Espace Vectoriel Engendré par une Partie.

Qui est en ligne