Polynome Minimal

par **cendrillon** » 20 Jan 2011, 17:15

Bonjour,
est-ce que quelqu'un pourrait me donner une definition du polynome minimal ainsi qu'un exemple pour que je puisse me faire une idée de ce que c'est.
Merci !

par **girdav** » 20 Jan 2011, 17:43

Ça dépend du contexte :théorie des corps ou algèbre linéaire, mais je penche pour la seconde possibilité.
Si on se donne un endomorphisme

, le polynôme minimal de

est le polynôme unitaire

de plus petit degré tel que

.

par **cendrillon** » 20 Jan 2011, 22:05

en fait c'est plutot la theorie des corps ...

par **girdav** » 20 Jan 2011, 23:07

Alors du peu que je connaisse : si on a que K est un sous-corps de

et

un nombre algébrique sur

alors le polynôme minimal

de

est le polynôme unitaire irréductible tel que

.

par **Nightmare** » 21 Jan 2011, 01:33

Hello,

dans les deux cas, on a une définition équivalente :

Si f est un endomorphisme d'un k-ev E, le noyau du morphisme

est un idéal principal de k[X]. Son générateur unitaire est le polynôme minimal de f (sur k).

Si a est un élément algébrique sur un corps k, le noyau du morphisme

est un idéal principal de k[X]. Son générateur unitaire est le polynôme minimal de a (sur k).

:happy3:

Edit : donc pour simplifier, comme le dit girdav, dans tout les cas, le polynôme minimal est le plus petit polynôme (au sens du degré) unitaire qui annule l'objet considéré

Polynome Minimal

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