Bonjour,
Sur wikipédia j'ai trouvé ça : http://fr.wikipedia.org/wiki/Cercles_inscrit_et_exinscrits_d%27un_triangle#Point_de_Nagel
Le point de Nagel est le point de concourance des droties joignant A,b et C (triangle) aux points de contacts des cercles exinscrits opposés.
J'aimerais montrer que ces droites sont effectivement concourantes mais je n'y arrive pas ! Quelqu'un a-il un document là dessus ? Ou alors comment dois-je procéder ?
Je pense que le mieux est de procéder par une méthode barycentrique. Mais pour ça il faudrait savoir où se situe les points de tangence sur les côtés ...
Merci de votre aide !!
Point de Nagel
5 messages
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par nee-san » 16 Jan 2011, 12:58
benekire2 a écrit:Bonjour,
Sur wikipédia j'ai trouvé ça : http://fr.wikipedia.org/wiki/Cercles_inscrit_et_exinscrits_d%27un_triangle#Point_de_Nagel
Le point de negel est le point de concourance des droties joignant A,b et C (triangle) aux points de contacts des cercles exinscrits opposés.
J'aimerais montrer que ces droites sont effectivement concourantes mais je n'y arrive pas ! Quelqu'un a-il un document là dessus ? Ou alors comment dois-je procéder ?
Je pense que le mieux est de procéder par une méthode barycentrique. Mais pour ça il faudrait savoir où se situe les points de tangence sur les côtés ...
Merci de votre aide !!
tu veut la démo la voici avec bary http://membres.multimania.fr/strom/demo_nagel.htm c ça?
par benekire2 » 16 Jan 2011, 13:12
ouais, merci sauf que justement l'auteur dit "I et J sont symétriques par rapport au milieu de [BC]" et pour moi ce n'est pas direct du tout , d'ailleurs j'aimerais bien le montrer :mur:
par Ben314 » 19 Jan 2011, 23:43
Salut,
Normalement, avec les barycentres, il n'y a pas trop de difficultés :
Résultats "classiques" :
Partant d'un triangle
tel que 
la bissectrice intérieure issue de 
est dirigée par 
donc c'est l'ensemble des points de la forme <br />={\rm Bar}\left(\matrix{A\ &B&\ C\cr 1-tb-tc\ &\ tb\ &\ tc}\right))
ce qui montre que l'intersection de la bissectrice intérieure issue de et de )
est )
et que le point )
est commun au trois bissectrices (pour des raisons de symétrie). C'est donc lui le centre du cercle inscrit.
De même, le fait que la bissectrice extérieure issue de soit dirigée par 
permet de voir que, lorsque 
l'intersection de la bissectrice extérieure issue de et de est )
et que, dans tout les cas, le centre du cercle exinscrit "en face" de est )
.
Point de Nagel :
En écrivant.\vec{BC}=0)
et en utilisant le fait que )
et que )
on voit que le vecteur \vec{AB}+(a^2-b^2+c^2)\vec{AC})
est orthogonal à 
donc les points de la perpendiculaire à passant par 
sont ceux de la forme \ &\ c+t(a^2-b^2+c^2)}\right))
et, en particulier, le projeté orthogonal de sur est : \ &\ c-\frac{1}{2a}(a^2-b^2+c^2)}\right)<br />={\rm Bar}\left(\matrix{B\ &\ C\cr <br />a-b+c\ &\ a+b-c}\right))
Par symétrie,)
et )
ce qui montre que les droites ,\ (BB'),\ (CC'))
sont concourantes en )
Normalement, avec les barycentres, il n'y a pas trop de difficultés :
Résultats "classiques" :
Partant d'un triangle
De même, le fait que la bissectrice extérieure issue de
Point de Nagel :
En écrivant
Par symétrie,
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