bonjour,
j'ai un exercice de maths a faire mais je suis bloquée; voilà l'énocé:
soit E un IR espace vectoriel
On appelle projecteur de E tout endomorphisme p de E vérifiant p² = p°p ( p rond p )=p
1. Soit u et v deux endomorphisme de E tels que v= IdE - u
(IdE est l'identité de E)
Montrer que v est un projecteur ssi u est un projecteur.
2. Dans ce cas , établir que Im u = ker v et ker v = Im u .
3. prouvez que si u est un projecteur alors e = Im u + ker u ( somme directe)
Je ne sais pas comment démontrer ces question.
merci pour votre aide
Audrey
Algèbre: projecteurs
3 messages
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par mln » 08 Mai 2006, 11:42
Bonjour
1.
) = v(x)-u(v(x)) = x - u(x) - u(x) + u(u(x)))
Or si u est un projecteur,) = u(x))
Donc) = x- u(x) = v(x))
donc si u est un projecteur, v aussi. C'est le meme type de calcul pour la réciproque.
2.
,\ \exist y\in E,\ x=v(y))
,\ \exist y\in E,\ u(x)=u(y)-u(u(y)))
,\ u(x)=0_E)
Donc Im(v) C ker (u).
,\ u(x)=0_E)
,\ x-v(x)=0_E)
,\ x=v(x))
Donc Ker(u) C Im(v)
Donc ker(u) = Im(v)
On fait la meme chose pour la seconde égalité
3.
\cap Ker(u),\ \exist y \in E,\ (x = u(y)\ et\ u(x) = 0))
donc = u(u(y)) = u(y) = x)
donc
Donc\cap Ker(u) = \{0_E\})
)+u(x))
Or\in Im(u))
et) = u(x)-u(u(x))=0_E)
)\in Ker(u))
Donc,\ \exist u_2\in Ker(u),\ x = u_1 + u_2)
Donc\oplus Im(u))
Voili, voilou
Bon courage
1.
Or si u est un projecteur,
Donc
donc si u est un projecteur, v aussi. C'est le meme type de calcul pour la réciproque.
2.
Donc Im(v) C ker (u).
Donc Ker(u) C Im(v)
Donc ker(u) = Im(v)
On fait la meme chose pour la seconde égalité
3.
donc
donc
Donc
Or
et
Donc
Donc
Voili, voilou
Bon courage
3 messages
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