[MPSI] Sur les polynômes

[euler21]

Bonsoir
Dans un exercice on demande à trouver les polynômes qui laissent stable l'ensemble U. (cercle unité)
http://bkristof.free.fr/dm/Devoir%20a%20la%20maison%20-%20P%20%28Q%29%20inclus%20dans%20Q%20et%20cetera.pdf
C'est le deuxième exercice. Si vous voulez résoudre l'exercice alors ne regardez pas ce qui suit puisque je vais étaler ma démarche pour la deuxième question.
En effet, soit P un polynôme qui laisse stable U.
En multipliant l'égalité trouvée dans la question 1 par P(u) on trouve P(chapeau) (u). P(u) =
Comme l'ensemble U est infini on déduit que l'égalité reste vraie pour tout les complexes.
Inversement Si un polynôme vérifie cette égalité, il est clair qu'il laisse U stable. (via le résultat de la première question).
Ma question c'est que cela est suffisant pour résoudre l'exercice ou faut-il trouver une relation entre les coefficients ???
Merci pour votre aide.

[sniperamine]

Bonsoir , ton lien ne marche pas :s

[Nightmare]

Salut,

eh bien, si P(chapeau)(x)P(x)=x^n, alors P(x) divise x^n donc est de la forme avec .

[fatal_error]

Salut,

(pour P chapeau (il me semble que c'était une tilde dans nos notations)

\widetilde{P}
mais si c'était vraiment un chapeau auquel tu faisais allusion (comme pour les angles), alors \widehat
)

[euler21]

Merci pour l'indication Nightmare :++:
Merci pour l'indication Fatal Error :++:

[euler21]

Bonsoir
Concernant le premier exercice (condition pour que P laisse l'ensemble des rationnels stables)
Je trouve qu'il faut et il suffit que les soient rationnels . (et de même pour le cas des réels)
Est ce que c'est correct ?? Y a-t-il une condition plus simple ??
Merci pour vos réponses

[Nightmare]

C'est correct et on ne peut pas faire mieux.