Algèbre - Espace préhilbertiens..

par **Benk** » 18 Jan 2011, 20:56

Bonsoir à tous, comment que ca va ? :zen:

E est un K-ev de dimension finie, u et v deux endomorphismes diagonalisables de E qui commutent.
1- Montrer que tout espace vectoriel propre de u est stable par v.
2- Montrer que tout espace vectoriel propre de u admet une base formée de vecteurs propres pour v.

--> la question 1 est facile, on utilise le fait que u et v commutent..
Mais je sèche complètement pour la question 2, donc si vous aviez une piste..

Merci d'avance et bonne soirée

par **Actéon** » 19 Jan 2011, 00:12

il faudrait que tu regardes , pour un sous espace propre donné de u, la restriction de v a ce sous espace propre, qui est un endomorphisme puisque le sous ev est stable par v, et que tu regardes ce que tu peux en faire en terme de réduction

par **Benk** » 19 Jan 2011, 14:09

voici ce que j'ai dit..

Sachant que v est diagonalisable, et que sa restriction à tout espace propre de u E(u) est un endomorphisme, alors v/E(u) est diagonalisable.. Donc il existe une base de E(u) formée de vecteurs propres de v/E(u), qui sont eux meme vecteurs propres de v.

Est ce juste?

par **Actéon** » 21 Jan 2011, 13:45

Benk a écrit:voici ce que j'ai dit..

Sachant que v est diagonalisable, et que sa restriction à tout espace propre de u E(u) est un endomorphisme, alors v/E(u) est diagonalisable.. Donc il existe une base de E(u) formée de vecteurs propres de v/E(u), qui sont eux meme vecteurs propres de v.

Est ce juste?

oui, c'est juste.

par **Nightmare** » 21 Jan 2011, 16:50

Hello,

La justification que v/E(u) est diagonalisable laisse beaucoup à désirer. Ici, le fait que E(u) est un sous-espace stable est important pour en déduire que la restriction a cet espace est encore un endomorphisme diagonalisable. Il y a quand même un argument à donner, par exemple celui du polynôme minimal.

par **Benk** » 21 Jan 2011, 17:35

Nightmare a écrit:Hello,

La justification que v/E(u) est diagonalisable laisse beaucoup à désirer. Ici, le fait que E(u) est un sous-espace stable est important pour en déduire que la restriction a cet espace est encore un endomorphisme diagonalisable. Il y a quand même un argument à donner, par exemple celui du polynôme minimal.

C'est dis dans le fait que v/E(u) est un endomorphisme..

par **Doraki** » 21 Jan 2011, 17:42

prouver que v|E(u) est un endomorphisme ça ne prouve pas qu'il est diagonalisable.

par **Actéon** » 21 Jan 2011, 22:14

Doraki a écrit:prouver que v|E(u) est un endomorphisme ça ne prouve pas qu'il est diagonalisable.

oui j'ai hésité à te dire d'en dire plus, mais c'est quand même un résultat de cours (si v est diagonalisable et si F est stable par v alors v|F est diagonalisable aussi). je ne sais pas en quelle classe/année tu es, mais par exemple dans les classes prépa ce th. est explicitement au programme, donc tu peux l'utiliser sans en dire plus.enfin bref de toute façon là on est plus en train de faire des maths.

par **Doraki** » 21 Jan 2011, 22:33

Ben si l'exo c'est que ça... l'intérêt de l'exo devient limité si il suffit de dire que c'est un théorème du cours.

Je connais pas par coeur le programme de prépa (je l'ai jamais appris de toutes façons).

par **Actéon** » 21 Jan 2011, 22:57

oui enfin bon, programme ou pas programme, plus simplement j'aurais dû dire: ça dépend si le théorème est dans "ton" cours, tout simplement

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