P divise (p-1)!+1 ?

[matixes]

Bonjour !
Je suis bloqué sur un devoir maison dont le but est de démontrer que si p est un nombre premier, alors p divise (p-1)!+1 ( le ! voulant dire factorielle , c'est a dire 1x2x3x...(p-2)x(p-1))

Soit p un nombre premier
Soit x quelconque dans l'ensemble [1;p-1] avec x entier naturel
On considère les produits de x par les nombres 1;2;3...;p-1 et les restes de ces produits dans la division par p

1/ Démontrer par l'absurbe qu'aucun des restes ne peut être nul ... La j'y arrive pas !
2/ Prouver que si c et d sont des nombres appartenant a [1;p-1] alors lc-dl (valeure absolue) est inférieure a p ... La j'ai réussi c'est facile
3/ En déduire que les restes sont tous différents ( en admettant la premiere question je n'y arrive pas )
4/ En déduire que pour tout x dans [1;p-1] il existe un entier y dans [1;p-1] et un seul tel que xy soit congru a 1[p]

Si vous pouviez m'aider pour la 1 la 2 et la 4 ca serait sympa !!!
Merci d'avance ;)

[matixes]

La premiere et la deuxieme question sont reglées ... reste les deux suivantes !!!

[Nightmare]

Hello,

1/ Dire qu'un des restes est nul revient à dire qu'un des kx est divise par p, sauf que p est premier aux deux facteurs..

[matixes]

Pour la 1 c'est bon ! Je suis bloquée a la 3 ...

[Sa Majesté]

1/ Démontrer par l'absurbe qu'aucun des restes ne peut être nul ... La j'y arrive pas !

Pour démontrer par l'absurde il faut supposer le contraire de ce que tu dois montrer et en déduire une contradiction
Si un des restes était nul alors que peux-tu écrire ?

[Mortelune]

Bonsoir, pour la 1 déjà :
Notons le produit P. Supposons que le reste soit nul, alors il existe un q tel que P=qp. Donc p|P.
Arrivé là peut être penser au théorème de Gauss.

[Florélianne]

Bonjour,
Je cherche pour la 3) ! Ce qui m'ennuie c'est le "en déduire" parce que je ne vois pas comment !
Toutes mes excuses ! Si ce n'est pas trop urgent...
Bonne soirée

[matixes]

Non non aucun probleme merci beaucoup !
On peut partir du fait que ax=pq+r et que a'x=pq'+r' et essayer de prouver que r-r' non nul ! Mais je voit pas comment !

[Sa Majesté]

Avec la différence des 2 ...

[matixes]

Justement ... Ca me donne x(a-a')= p(q-q')+r-r'
Ce qui donne r-r'= x(a-a')-p(q-q')
Grace au théorème précédent on sait que a-a' < p donc x(a-a') on sait aussi que q-q' < p donc p(q-q')

[Sa Majesté]

Tu peux faire par l'absurde
Si les restes n'étaient pas tous différents alors il y en aurait 2 (au moins) qui seraient égaux

[Florélianne]

re,
La méthode normale est de partir de deux couples dont les produits ont le même reste dans la division par p, leur différence est donc un multiple de p.
C'est là que je ne vois pas comment utiliser la question 2 pour montrer que les couples ne peuvent être qu'identiques... ce que nous devons prouver !
Je garde le problème en tête, on ne sait jamais ! Si un éclair de lucidité me traversait...
Courage

[matixes]

J'ai réussi la 3/ ! Merci de votre aide ! IL me manque plus que la 4 et j'ai fini !!! SI vous pouviez me mettre sur la piste !

[Mortelune]

Bonjour, comme c'est un en déduire ...

Soit p un nombre premier
Soit x quelconque dans l'ensemble [1;p-1] avec x entier naturel
On considère les produits de x par les nombres 1;2;3...;p-1 et les restes de ces produits dans la division par p

Les restes sont tous différents et dans [1;p-1]

Bon courage ^^

[matixes]

Excuse moi mais je voit pas du tout ou tu veux en venir !

[Mortelune]

Normalement à la relecture de l'énoncé et de la question, peut être aidé par ce que j'ai mis en valeur tu devrais pouvoir rapidement conclure.

[matixes]

Je vais essayer ! Je te dit ca ce soir ! Merci !